空
间
几
何
体
第
一
章
本章内容
1.1 空间几何体的结构
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.3 空间几何体的表面积与体积
第一章小结
1.1
空间几何体的结构
1.1.2 简单组合体的结构特征
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
(第一课时)
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
(第二课时)
柱、锥、台、球的结构特征
(第一课时)
1.1.1
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1. 什么是多面体? 什么是旋转体?
2. 什么是棱柱、棱锥、棱台? 各有哪些几何特征?
问题 1. 下面这些物体中, 根据它们的形状特征,你思考可怎样分类?
1.1 空间几何体的结构
柱体
锥体
台体
球体
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
(2)
(5)
(7)
(9)
(1)
(8)
(14)
(3)
(6)
(13)
(15)
(4)
(10)
(11)
(12)
一般地, 我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 (如图).
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
围成多面体的各个多边形
叫做多面体的面,
相邻两个面的公共边叫做多面体
的棱,
我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体 (如图).
这条定直线叫做旋转体的轴.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
轴
如上图中的几何体就是旋转体.
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1. 棱柱的结构特征
一般地, 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面围成的几何体叫做棱柱.
底面
各部分名称如图.
①
②
③
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1. 棱柱的结构特征
一般地, 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面围成的几何体叫做棱柱.
棱柱的表示:
用底面各顶点的字母表示.
图中的棱柱表示为:
棱柱ABCDEF-ABCDEF.
①
②
③
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1. 棱柱的结构特征
一般地, 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面围成的几何体叫做棱柱.
棱柱的特征:
① 平面ABCDEF
③ AA//BB//CC//…//FF.
② AABB, …, FFAA
//平面ABCDEF,
都是四边形,
①
②
③
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1. 棱柱的结构特征
一般地, 有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面围成的几何体叫做棱柱.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
六棱柱
五棱柱
四棱柱
三棱柱
①
②
③
2. 棱锥的结构特征
一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
用顶点和底面各顶点的
如: 棱锥 S-ABCD.
字母表示:
表示:
各部分名称如图.
①
②
③
2. 棱锥的结构特征
一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
特征:
① 底面四边形ABCD (多边形);
③ 侧面是△SAB,
② 侧棱 SA, SB, SC, SD交于
一点;
侧面是△SBC,
侧面是△SCD,
侧面是△SAD.
①
②
③
2. 棱锥的结构特征
一般地, 有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥
四棱锥
六棱锥
①
②
③
3. 棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面间的部分叫做棱台.
A
B
C
D
A
B
C
D
上底
下底
侧棱
侧面
特征:
② 各侧棱交于一点,
① 两底面平行,
③ 各侧面是梯形.
表示:
棱台ABCD-ABCD.
问题2. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 截得的两部分各是什么几何体?
各部分的名称如图.
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
三棱台
四棱台
五棱台
3. 棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面间的部分叫做棱台.
问题2. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 截得的两部分各是什么几何体?
问题3. 棱柱、棱锥与棱台都是多面体, 它们在结构上有哪些相同点和不同点? 当底面发生变化时, 它们能否互相转化?
共同点:
都是由若干个多边形围成的几何体.
棱柱与棱台共同点:
有两个面平行.
不同点:
棱柱、棱台有两个底面, 而棱锥只有
一个底面.
棱柱侧面是平行四边形, 而棱台侧面是梯形,
棱锥侧面是三角形.
棱锥是棱台之父, 棱台是由棱锥而截得.
当棱柱的一个底面相似缩小一些就变成了棱台,
再缩小成一个点时, 就变成了棱锥.
请看下面的动态效果:
问题3. 棱柱、棱锥与棱台都是多面体, 它们在结构上有哪些相同点和不同点? 当底面发生变化时, 它们能否互相转化?
请 稍 候
练习: (补充)
1. 试着画出下面的几何体, 同桌比较直观效果, 并相互检查所画四棱台是否正确.
(1) 四棱柱; (2) 三棱锥; (3)四棱台.
2. 判断下列说法是否正确:
(1) 面数最少的多面体是四个多边形围成;
(2) 棱柱的两底面是全等的多边形;
(3) 两底面平行, 侧面是梯形的几何体是棱台;
(4) 棱台的上底面与下底面是相似的多边形.
练习: (补充)
1. 试着画出下面的几何体, 同桌比较直观效果, 并相互检查所画四棱台是否正确.
(1) 四棱柱; (2) 三棱锥; (3)四棱台.
解:
画图如下:
(1) 四棱柱
(2) 三棱锥
(3) 四棱台
检查棱台的侧棱是否交于一点.
2. 判断下列说法是否正确:
(1) 面数最少的多面体是四个多边形围成;
(2) 棱柱的两底面是全等的多边形;
(3) 两底面平行, 侧面是梯形的几何体是棱台;
(4) 棱台的上底面与下底面是相似的多边形.
(1) 三棱锥就由四个三边形围成, 是面数最少的多面体.
(3) 两底面平行, 侧面是梯形时, 侧棱不一定相交于一点.
(4) 说法是正确的, 在这里是猜想判断, 通过以后的学习, 同学们就可以证明.
(2) 侧面是平行四边形可得到两底面多边形的对应边相等, 在以后的学习中同学们可以证明对应角相等.
【课时小结】
1. 多面体和旋转体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.
【课时小结】
2. 棱柱的几何特征
(1) 有两个面平行;
(2) 其余各面都是四边形;
(3) 每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
① 平面ABCDEF
③ AA//BB//CC//…//FF.
② AABB, …, FFAA
//平面ABCDEF,
都是四边形,
表示:
棱柱ABCDEF-ABCDEF.
【课时小结】
3. 棱锥的几何特征
(1) 有一个面是多边形.
(2) 其余各面都是三角形.
(3) 这些三角形都有一个公共顶点.
① 底面ABCD 是多边形.
② 侧面是△SAB, △SBC,
③ 侧棱 SA, SB, SC, SD
交于一点.
△SCD, △SAD.
棱锥 S-ABCD.
表示:
【课时小结】
4. 棱台的几何特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面间的部分叫做棱台.
② AA, BB, CC, DD 交于
一点.
① 平面ABCD//平面ABCD.
③ 各侧面是梯形.
表示:
棱台ABCD-ABCD.
习题 1.1
A 组
第 1(1)(2)(3)、2 题.
习题1.1
A组
C
(2) 下列命题正确的是 ( )
(A) 有两个面平行, 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.
(B) 有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.
(C) 有两个面平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.
(D) 用一个平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
如图不是棱柱.
C
平面ABC//平面ABC,
四边形的公共边
不都互相平行.
没保证截面平行底面.
围成的长方体中,
应是两小面深色,
长的两对面同色, 两邻面不同色,
排除 (A), (B).
排除 (C).
D
答: 三个都不是台体.
第一个的侧棱不相交于一点, 不是由棱锥截下来
的一部份.
第二个图中, 截棱锥的面不平行于底面.
第三个图与第二个图同理.
柱、锥、台、球的结构特征
(第二课时)
1.1.1
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什么是圆柱、圆锥、圆台、球? 各有哪些几何特征?
以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.
4. 圆柱的结构特征
请看动画效果:
以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.
4. 圆柱的结构特征
4. 圆柱的结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.
特征:
① 两底面是圆且平行全等,
② 母线互相平行且平行于轴,
③ 母线及母线端点与底面
圆心的连线与轴围成矩形.
表示:
圆柱 OO.
各元素名称如图:
5. 圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
请看动画效果:
5. 圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
5. 圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
各元素名称:
轴 (底面圆心与顶点的连线)
底面:
侧面:
母线:
圆锥用轴的字母表示
如: 圆锥 AO.
顶点:
A
圆O面
线段AB旋转而成的面
AB 经过的各位置,
如图中 AB, AC,
5. 圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
特征:
① 底面是圆,
③ 母线、底面圆半径、轴围成
② 母线长相等,
直角三角形.
表示:
圆锥 AO.
6. 圆台的结构特征
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面间的部分叫做圆台.
特征:
② 各母线与轴交于一点.
① 两底面是相互平行的圆,
表示:
圆台O-O.
问: 圆台可以用什么图形旋转而成.
各部分名称如图.
请看动画效果:
请稍候
在球O中:
点O是球心,
AB是直径,
OA, OB, OC, OD, OM 都是半径.
A
B
7. 球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.
7. 球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.
特征:
① 过球心的截面是个圆(大圆),
圆心即球心, 圆半径即球半
径;
·
P
② 不过球心的截面也是圆(小圆).
表示:
球 O.
练习: (补充)
1. 试着各画一个圆柱, 圆锥, 圆台, 球.
习题 1.1
第 1(4) 题.
解:
画图如下:
圆柱
练习: (补充)
1. 试着各画一个圆柱, 圆锥, 圆台, 球.
圆锥
圆台
球
习题 1.1
A 组
(A) 双层同心球.
(B) 双层充气车轮内胎状
(C) 即是充气车轮内胎.
(D) 是球.
C
【课时小结】
1. 圆柱的结构特征
① 两底面是圆且平行全等;
② 母线互相平行且平行于轴;
③ 母线、轴、两底面半径
表示:
圆柱 OO.
围成矩形.
以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.
【课时小结】
2. 圆锥的结构特征
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
① 底面是圆;
③ 母线、底面圆半径、轴围成
② 母线长相等;
直角三角形.
表示:
圆锥 AO.
【课时小结】
3. 圆台的结构特征
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面间的部分叫做圆台.
② 各母线与轴交于一点;
① 两底面是相互平行的圆;
表示:
圆台O-O.
③ 轴, 母线, 上、下底面
圆半径构成直角梯形.
【课时小结】
4. 球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体.
① 过球心的截面是个圆
(大圆), 圆心即球心,
圆半径即球半径;
② 不过球心的截面也是
圆(小圆).
表示:
球 O.
平面上的各多边形在所折几何体的什么位置?
请同学们对照你折成的几何体,
习题1.2
A组
第 5 题
1.1.2
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生活中的很多物体, 你能分解出它们是由哪些简单几何体组合而成的吗?
问题1. 我们学习了柱、锥、台、球这几种几何体的结构特征, 在现实生活中, 很多物体都是由这几种几何体组合而成的. 你能说出下面这些物体是由哪些几何体组合而成的吗?
圆柱
圆台
圆柱
六棱锥
六棱台
六棱台
球
圆柱
圆台
六棱柱
圆柱
圆柱
球
圆柱
简单组合体的构成有两种基本形式:
一种是由简单几何体拼接而成, 如:
另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,
如:
练习: (课本7页)
第 1、2 题.
答: (1) 图是圆锥体结构.
(2) 图是四棱柱 (长方体) 结构.
(3) 图上部是圆锥体, 下部是圆柱体结构.
(4) 图外部是六棱柱, 内空是圆柱体结构.
2. 根据下列对于几何结构特征的描述, 说出几何体的名称:
(1) 由7个面围成, 其中两个面是互相平行且全等的五边形, 其他面都是全等的矩形;
(2) 一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形.
解:
(1)
五棱柱.
(2)
圆锥.
1.1 空间几何体的结构
【小结】
1.1 空间几何体的结构
【小结】
1.1 空间几何体的结构
【小结】
习题1.1
A组
第 3、4 题.
B 组
第 1、2 题.
习题1.1
A组
解:
(1) 图上部是圆锥体, 下部是圆台体.
(2) 图上部是四棱锥体, 下部是四棱柱体.
答: 旋转后形成一个空心球体,
彩色环就是球壁厚度。
答: 剩下的几何体是一个五棱柱, 截去的几何体是一个三棱柱.
2. 请研究下列物体所示几何体的几何结构特征.
第一图,
由一个圆柱体和一个四棱柱拼合成.
第二图,
由两个挖空圆柱体拼合成.
第三图,
由一个圆柱体, 一个挖空圆柱体和
一个四棱柱拼合而成.
完
完