第二十一章 一元二次方程
§21.1一元二次方程
学习目标
(1)一元二次方程的有关概念；
（2）会把一元二次方程化成一般形式。
问题情景(1)
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?
A
C
B
雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
分析:
即
设雕像下部高xm,于是得方程
整理得
x
2-x
问题情景(2)
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
100㎝
50㎝
x
3600
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .
(100-2x)cm
(50-2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2,得
即
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
问题情景(3)
分析:
全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛

是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
(x-1)
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
探究新知:
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
?
尝试练习
1判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）

（2）

（3）

（4）
例题讲解
2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
尝试练习
精讲点拨
1.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
2.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
例题讲解
当堂训练
方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
2.当m为何值时,方程


是关于x的一元二次方程.
D
当堂训练
3. 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
⑴
⑵
⑶
1、（苏州）若　　　　　　　　　　是关于　的一元二次方程，则（　　）
走进中考
2、
是关于　的一元二次方程，
则m的值为
C
(南京)
变式
一元一次方程
A、p为任意实数 B、p=0 C、p≠0 D、p=0或1
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
判一判 下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－ －1 ＝0
(4) ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
解: (1)、 (4)
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．
≠3
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．,当k 　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
想一想:
例4 已知关于x的一元二次方程
(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
求m。
分析：一根为2即x＝2,只需把x＝2代入原方程。
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根
思考:
你能否说出下列方程的解 （根） ?
1)
2)
3)
随堂练习
1.当m＝-----时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
　有解x＝0
2.下面哪些数是方程 的根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 的根吗?
?
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
B