21.1 一元二次方程（第1课时）
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：
设雕像下部高xm，于是得方程
整理得
x2＋2x－4=0
x2=2(2－x)
A
C
B
2cm
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得
（100－2x）（50－2x）=3600.
整理，得
4x2－300x+1400=0.
化简，得
　 x2－75x+350=0 . ②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
列方程
整理，得
化简，得
由方程③可以得出参赛队数．
全部比赛共4×7＝28场
③
问题３：新九(６)班成立，各新同学初次同班，为表友谊，全班同学互送贺卡，全班共送贺卡1560张，求九(６)班现有多少名学生？
解：设九(６)班有m名学生，则：
m(m-1)=1560
整理,得：m2-m=1560

化简,得：m2-m-1560=0 ④
由方程④可以得出参赛队数．
方程① ② ③有什么特点？
（１）这些方程的两边都是整式，
（２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
x2－75x+350=0 ②
x2＋2x－4=0 ①
x2-x＝56 ③
m2-m-1560=0 ④
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；

（２）
　
（3）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；

（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；

（5）ax2＋bx＋c＝０
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式.
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
解：去括号，得
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
练 习
一般式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
一般式：
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
解：设其边长为x，则面积为x2
4x2=25
所以，一般式为：4x2-25=0
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
x(x－2)=100.
∴一般式为：x2－2x－100=0.
解：设长为x，则宽（x－2）
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
x·1 = (1－x) 2
X2－3x＋1=0.
解：设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x）
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
(５)在同一直线上的n个点，可以构成45第线段，求
n的值．
化简并整理得：n2-n-90=0
(6)已知n边形有３５条对角线，求n的值．
化简并整理得：n2-3n-70=0
例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。
得2a=6
∴2a-1=5
∴a=3
一元二次方程根的意义：能使方程成立的未知数
的值．
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次方程2x²+kx-1=0的一个根，求k的值.
2、已知x=0是关于x的一元二次方程(a-1)x²+x+a²-1=0的一个根，求a的值.
能力提升：
1.关于x的方程（2m2+2m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程
吗？为什么？
2.关于 的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。