第十三章 轴对称
13.1 轴对称
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
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13.1.1 轴对称
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
对称轴
下面的图形都是轴对称图形，请分别找出每个图形的对称轴。
练一练
取一张纸，先对折，然后打开放在
桌上，在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸
迅速合上、压平，再将纸打开，观察所
得到的图案。
位于折痕两侧的墨迹图案彼此之间
有什么关系？
做一做
观察下图中的每组图案，你发现了什么？
如果两个图形沿一条直线对折，它们能
完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条
直线就是对称轴。
想一想
欣赏下面这幅图，你能找出两个成轴对称的图形吗？
找一找
轴对称图形和轴对称是不是一回事?它们
有区别吗?
议一议
不同点：轴对称图形对一个图形而言。
成轴对称是对两个图形而言。
联系：
轴对称图形
成轴对称
请观察下面几何图形，哪些是轴对称图形？并找出它们的对称轴。
练一练
等边三角形
一般三角形
一般等腰三角形
圆
等腰梯形
一般梯形
平行四边形
找出下列图形的对称轴
美国
加拿大
乌拉圭
澳大利亚
国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗
哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。
瑞典
英国
以色列
挪威
试一试
√
√
√
√
√
√
√
√
火眼金睛
比一比
找规律填空：
猜字游戏：
下列16个英文字母中，是轴对称图形的是
　　　
　　　
A　B　C　D　E　F　G　H　
　　 M　N　O　P　Q　R　S　T
朴素的对称观念在我们的生活中广泛存在：①文学中的对仗也是一种“对称”。王维的诗句“明月松间照，清泉石上流”无非是把第一句中的“明月”变成了第二句中的“清泉”，“松间”变成了“石上”，“照”变成了“流”，词意变了，但是词性和句式结构并没有变.由于工整的文字对仗,使王维诗的自然意境之美得到很好地表现.我国文学中的歌赋尤其是对联，更把“对称”的要求推进到极高的境界.
阅读讨论 对称与文化
②我国人民喜闻乐见的京剧脸谱，多是对称的图形，民族建筑中整体或局部呈对称的现象更是常见.
③对称概念在物理学等领域中也起着重要的作用.著名的物理学家杨振宇和李政道获得的诺贝尔奖研究成果——“宇称不守恒”就和对称密切相关.杨振宇在《对称和物理学》一文中写道：“在理解物理世界的过程中,21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能” 。
正如20世纪著名数学家赫尔曼.外尔所说的，“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求，并创造次序、美丽和完善……”对称的涵义已远远超出了数学的范畴，它出现在自然、艺术、科学、建筑乃至诗歌 中。对称是一种美，生活有了“对称” 会更美。
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
思考
如图，△ABC和 △A'B'C'关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A',B',C'的对称点，线段AA'、BB'、CC'与MN有什么关系？
P
点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和 △A′B′C′沿直线MN折叠后，点Ａ与Ａ′重合，于是有：
ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0°
对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。
定义：
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
几何语言：
∵MN是AA′的垂直平分线
∴AP=PA′, ∠MPA= ∠MPA′=90°
轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。
即对称点的连线被对称轴垂直平分。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。
C
A'
A
B
B'
C'
l
l垂直平分 AA'
l垂直平分BB'
l垂直平分CC'
如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB， P1 ，P2, P3 P4,…是l上的点，分别量出点P1 ，P2, P3 P4 ，…到A与B的距离，你有什么发现？
发现：
AP1=BP1;AP2=BP2;
AP3=BP3;AP4=BP4.
动动手，你也会有发现！
画线段AB的垂直平分线 l，在 l 上取任意点P，量一量点P到A与B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。你能说明理由吗？
结论：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
直线l⊥AB，垂足是C，AC=CB,点P在l上，求证PA=PB.
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
又∵ AC=CB，PC=PC,
∴△PCA ≌△ PCB(SAS)
∴PA=PB
线段平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线的性质：
应用
几何语言：
∵ l ⊥ＡＢ
∴ＰＡ＝ＰＢ
反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的垂直平分线上呢？
若AP=BP ，则P在线段AB的垂直平分线上。
结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定：
应用
几何语言：
∵ PA＝PB
∴ l 是AB的垂直平分线
理解了吗？
1、∵ ，∴AB＝AC。
理由：

2、∵ ，∴A在线段BC的中垂线上
理由：
AD是BC的中垂线
AB＝AC
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、如图， NM是线段AB的中垂线,
下列说法正确的有： 。
①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
①②③
3、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
会用吗？
BD=AD
AD+DC+BC
AC+BC
12+7=19
1.垂直平分线的定义：
∵MN是AB的垂直平分线
∴ ， ；
2.垂直平分线的性质：
∵MN是AB的垂直平分线
∴ （ ）
3.垂直平分线的判定：
∵PA＝PB
∴ （
）
小结
MN⊥AB
AD＝BD
PA＝PB
线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等
P在AB的垂直平分线上
与一条线段两个端点距
离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
例1：如图，点A与点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
例题精讲
A
B
分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴. 而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可.
作法：
1.分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
2.作直线CD.
C
D
∴直线CD即为所求
例2：如图是一颗五角星，你能作出它的所有对称轴吗？
例题精讲
作法：

1.找出它的一对对称点（例如A和A’）；

2.作线段AA’的垂直平分线 l.
A
A’
l
用类似的的方法，就可以作出其他四条对称轴.你也试一试！
练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
课堂练习
课堂练习
练习2：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴.
课后思考
练习4：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线且AD＝BD，AC＝10. 求AB的长度.
提示：过点D作DE⊥AB于E
天生我才
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再见!