14.2　乘法公式
14.2.1 平方差公式
课前预习
要点感知　(a＋b)(a－b)＝________．即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的___
_____．这个公式叫做________公式．[来源:Zxxk.Com]
预习练习1－1　在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )
A．(x＋1)(1＋x) B．(a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)
1－2　计算：
(1)(x＋3)(x－3); (2)(a＋2b)(a－2b)．
当堂训练[来源:学科网ZXXK]
知识点1　用面
积法证明平方差公式
1．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________________________．


　 　　　　　 　　图1　　　　　　　　　图2
2．如
图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．

　
图1　　　　　　　　　图2　　　
(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
知识点2　直接利用平方差公式计算
3．
计算：
(1)(a－1)(a＋1)；(2)(2m＋3n)(
2m－3n)．
4．先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝.




[来源:学*科*网]

知识点3　利用平方差公式解决问题
5．计算：
(1)1 007×993；(2)2 014×2 016－2 0152.

课后作业[来源:学科网]
6．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
①(7ab－3b)(7ab＋3b)；②73×94；
③(－8＋a)(a－8)；④(－15－x)(x－15)．
A．①③　　 B．②④　　 C．③④　　 D．①④
7．对于任意正整数n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是( )
A．2 B．3 C．4 D
．5
8．计算(x2＋)(x＋)(x－)的结果为( )
A．x4＋ B．x4－
C．x4－x2＋ D．x4－x2＋
9．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10．已知(a＋b－3)2＋(a－b＋5)2＝0，则a2－b
2＝________．
11．计算：
(1)(－x2＋2)(－x
2－2)；

(2)(－x－y)(x－y)；

(3)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；

(4)2132－214×212.
12．(贵阳中考)先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
13．解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2)．

挑战
自我
14．已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各
式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋
22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；[来源:Z|xx|k.Com]
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．

参考答案
要点感知
　a2－b2　平方差　平方差
预习练习1－1　B　1－2　(1)原式＝x2－9.　(2)原式＝a2－(2b)2＝a2－4b2.
当堂训练
1．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2　2.(1)S1＝a2－b2，S2＝(2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)．　(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.　3.(1)原式＝a2－1.　(2)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2.　4.原式＝1－9x2＋9x2＋2x－1＝2x.当x＝时，原式＝2×＝1.
5．(1)原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝999 951.　(2)原式＝(2 015－1)×(2 015
＋1)－2 0152＝2 0152－1－2 0152＝－1.
课后作业
6．D　7.D　8.B　9.10　10.－15　11.(1)原式＝(－x2)2－22＝x4－4.　(2)原式＝(－y)2－x2＝y2－x2.　(3)原式＝a2－(2b)2－ab＋4b2＝a2－ab.　(4)原式＝2132－(213＋1)×(213－1)＝2132－(2132－1)＝1.　12.原式＝x2－1＋x2－x3＋x3＝2x2－1.当x＝2时，原式＝2×22－1＝7.　13.9x2－(6x2－4x＋3x－2
)＝3(x2－4)，9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12，x＝－14.
挑战自我
14．(1)1－xn＋1　(2)①－63　②2n＋1－2　③x100－1　(3)①a2－b2
②a3－b3　③a4－b4　提示：(2)②原式＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝－2(1－2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝－2(1－2n)＝－2＋2·2n＝2n＋1－2.③原式＝－(1－x)(1＋x＋x2＋…＋x97＋x98＋x99)＝－(1－x100)＝x100－1.
14.2.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
课前预习
要点感知　(a±b)2＝________．即两个数的和(或差)的平方，等于它们的________加上(或减去)________________．
预习练习1－1　计算：(2a＋1)2＝(________)2＋2×________×______
__＋(________)2＝________．
1－2　填空：
(1)(a＋b)2＝____________；
(2)(a－b)2＝____________；
(3)(5＋3p)2＝____________；
(4)(2x
－7y)2＝____________．
当堂训练
知识点1　完全平方公式的几何意义
1．如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为( )


A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
2．下列四个图形中，图1是长方形，图2、3、4是正方形．把图1、2、3三个图形拼在一起(不重合)，其面积为S，
则S＝____________；图4的面积P＝________；则P_
_______S.
　

图1　　　　图2　 　　 图3　　　 　　 图4
知识点2　运用完全平方公式计算
3．下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
4．若关于x的多项式x2－8x＋m是(x－4)2的展开式，则m的值为( )
A．4 B．16
C．±4 D．±16
5．计算(a－3)2的结果为________．
6．化简代数式(x＋1)2－2x，所得的结果是________．
7．直接运用公式计算：
(1)(3＋5p)2；


(2)(7x－2)2；

(3)(－2a－5)2；

(4)(－2x＋3y)2.[来源:Z.xx.k.Com]

8．运用完全平方公式计算：
(1)2012；　　　　　　　　(2)99.82.
课后作业
9．下列运算中，正确的运算有( )
①(x＋2y)2＝x2＋4y2；②(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2；③(x＋y)2＝x2－2xy＋y2；④(x－)2＝x2－x＋.
A．1个 B．2个
C．3
个 D．4个
10．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝(
)
A．10 B．6 C．5 D．3
11．(包头中考)计算：(x＋1)2－(x＋2)(x－2)＝________．[来源:学科网]
12．若(x－1)2＝2，则代数式x2－2x＋5的值为________．
13．由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：
4．321 02＋8.642×0.679 0＋0.679
02＝________．
14．计算：
(1)(－2m－3n)2；

(2
)(a－b)2(a＋b)2；



(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)；
(4)(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2.

15．先化简，再求值：2b2＋(a＋b)(a－b)－(a－b)2，其中a＝－3，b＝.

[来源:Z.xx.k.Com]

[来源:学科网]

[来源:学科网]
挑战自我
16．(铜仁中考)请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：


(1)
(a＋b)1＝a＋b；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6

a2
b2＋4ab2＋b4；…
(2)
根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝________________________________________________．
参考答案
要点感知　a2±2ab＋b2　平方和　它们的积的2倍
预习练习1－1　2a　2a　1　1　4a2＋4a＋1　1－2　(1)a2＋2ab＋b2　(2)a2－2ab＋b2　(3)25＋30p＋9p2　(4)4x2－28xy＋49y2
当堂训练
1．D　2.a2＋b2＋2ab　(a＋b)2　＝　3.D　4.B　5.a2－6a＋9　6.x2＋1　7.(1)原式＝9＋30p＋25p2.　(2)原式＝49x2－28x＋4.　(3)原式＝4a2＋20a＋25.　(4)原式＝4x2－12xy＋9y2.
8．(1)原式＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12＝40 000＋400＋1＝40 401.　(2)原式＝(100－0.2)2＝1002－2×100×0.2＋0.22＝10 000－40＋0.04＝9 960.04.
课后作业
9．B　10.C　11.2x＋5　12.6　13.25　14.(1)原式＝(2m＋3n)2＝(2m)2＋2×2m×3n＋(3n)2＝4m2＋12mn＋9n2.　(2)原式
＝[(a－b)(a＋
b)]2＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4.　(3)原式＝－(x2－y2)2＝－x4＋2x2y2－y4.　(4)原式＝a2＋6ab＋9b2－2a2＋18b2＋a2－6ab＋9b2＝36b2.　15.原式＝2ab.当a＝－3，b＝时，原式＝2×(－3)×＝－3.　16.a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6

第2课时　添括号法则
课前预习
要点感知　添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________符号．
预习练习　计算：(1)2x2＋2y－2x＋1＝
2x2＋(________)；(2)a－2b＋c＋
d＝a－(_____
___)．
当堂训练
知识点1　添括号法则
1．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是( )
A．a－(b－c)＝a－b＋c
B．a－b－c＝a－(b＋c)
C．(a＋1)－(－b＋c)＝－1＋b－a＋c
D．a－b＋c－d＝a－
(b＋d－c)
2．在括号里填上适当的项．
(1)a＋2b－c
＝a＋(________)；
(2)a－b－c＋d＝a－(________)；[来源:学。科。网]
(3)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋
(________)][a－(________)]．
3．已知2a－3b2＝5，则10－2a＋3b2＝10－(________)＝____
____．
知识点2　添括号后运用乘法公式计算
4．运用乘法公式计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)
；
(2)(a＋b－c)2；
(3)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

课后作业[来源:Zxxk.Com]

5．3ab－4bc＋1＝3ab－(　　)，括号中所填入的整式应是( )
A
．－4bc＋1 B．4bc＋1
C．4bc－1 D．－4bc－1
6．将多项式3x3－2x2＋4x－5添括
号后正确的是( )
A．3x3－(2x2＋4x－5)
B．(3x3＋4x)－(2x2＋5)
C．(3x3－5)＋(－2x2－4x)
D．2x2＋(3x3＋4x－5)
7．把多项式－3x2－2x＋
y－xy＋y2一次项结合起来，放在前面带有“＋”号的括号里，二次项结合起来，放在前面带有“－”号的括号里，等于( )
A．(－2x＋y－xy)－(3x2－y2)
B．(2x＋y)－(3x2－xy＋y2)
C．(－2x＋y)－(－3x2－xy＋y2)
D．(－2x＋y)－(3x2＋xy－y2)[来源:Z*xx*k.Com]
8．已知a－3b＝3，则8－a＋3b的值为________．
9．运用乘法公式计算：
(1)(x－y＋z)2；　　(2)(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b)．

挑战自我

10．已知a△b＝(a－b)2，a※b＝(a＋b)(a－b)，例如：1△2＝(1－2)2＝1，1※2＝(1＋2)(1－2)＝－3.根据以上规定，求10△6＋※的值．

第2课时　添括号法则
要点感知　不变　改变
预习练习　2y－2x＋1　2b－c－d
当堂训练[来源:学科网]
1．C　2.(1)2b－c　(2)b＋c－d　(3)b－c　b－c　3.2a－3b2　5　4.(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.　(2)原式＝a2＋2a(b－c)＋(b－c)2＝a2＋2ab－2ac＋b2－2bc＋c2.　(3)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－
2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
课后作业
5．C　6.B　7.D　8.5　9.(1)原式＝[x－(y－z)]2＝x2－2x(y－z)＋(y－z)2＝x2－2xy＋2xz＋y2－2yz＋z2.　(2)原式＝[(
2a＋3b)－1][1＋(2a＋3b)]＝(2a＋3b)2－1＝4a2＋12ab＋9b2－1.
挑战自我
10．原式＝(10－6)2＋(＋)(－)＝16＋()2－()2＝16＋3－2＝17.