分式的乘除法

教学目标
（一）教学知识点
1．分式乘除法的运算法则，
2．会进行分式的乘除法的运算．
（二）能力训练要求
1．类比分数乘除法的运算法则．探索分式乘除法的运算法则．
2．在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力．
3．用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识．
（三）情感与价值观要求
1．通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感．
2．培养学生的创新意识和应用数学的意识．
教学重点
让学生掌握分式乘除法的法则及其应用．
教学难点
分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算．
教学方法
引导、启发、探求
教具准备
投影片四张
第一张：探索、交流，（记作§3．2 A）；
第二张：例1，（记作§3．2 B）；
第三张：例2，（记作§3．2 C）；
第四张：做一做，（记作§3．2 D）．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
［师］上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？下面我们看投影片（§3．2 A）
探索、交流——观察下列算式：

×
=
,
×
=
,

÷
=
×
=
,
÷
=
×
=
．
猜一猜
×
=?
÷
=?与同伴交流．
［生］观察上面运算，可知：
两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘．
即
×
=
;

÷
=
×
=
．
这里字母a,b,c,d都是整数，但a,c,d不为零．
［师］如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法．
Ⅱ．讲授新课
1．分式的乘除法法则
［师生共析］分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
2．例题讲解
出示投影片（§3．2 B）
［例1］计算：
（1）
·
;（2）
·
．
分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式．
解：（1）
·
=

=
=
;
（2）
·

=
=
．
出示投影片（§3．2 C）
［例2］计算：
（1）3xy2÷
;（2）
÷

分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路．
解：（1）3xy2÷
=3xy2·

=
=
x2;
（2）
÷

=
×

=

=

=

3．做一做
出示投影片（§3．2 D）
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多．因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=
πR3（其中R为球的半径），那么
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
［师］夏天快到了，你一定想买一个又大又甜又合算的大西瓜．赶快思考上面的问题，相信你一定会感兴趣的．
［生］我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意，可得：
（1）整个西瓜的体积为V1=
πR3;
西瓜瓤的体积为V2=
π（R－d）3．
（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：

=
=

=（
）3=（1－
）3．
（3）我认为买大西瓜合算．
由
=（1－
）3可知，R越大，即西瓜越大，
的值越小，（1－
）的值越大，（1－
）3也越大，则
的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算．
Ⅲ．随堂练习
1．计算：（1）
·
;（2）（a2－a）÷
;（3）
÷

2．化简：
（1）
÷
;
（2）（ab－b2）÷

解：1．（1）
·
=
=
=
;
（2）（a2－a）÷
=（a2－a）×

=
=（a－1）2
=a2－2a+1
（3）
÷
=
×

=
=（x－1）y=xy－y．
2．（1）
÷

=
×

=

=（x－2）（x+2）=x2－4．
（2）（ab－b2）÷

=（ab－b2）×
=

=b．
Ⅳ．课时小结
［师］同学们这节课有何收获呢？
［生］我们学习分式的基本性质可以发现它类似于分数的基本性质．今天，我们学习分式的乘除法的运算法则，也类似于分数乘除法的运算法则．我们以后对于分式的学习是否也类似于分数，加以推广便可．
［师］很好！其实，数学历史的发展就是不断地将原有的知识加以推广和扩展．
［生］今天我们学习了一种新的运算，能运用因式分解将分子、分母是多项式的分式乘或除，我觉得我们很了不起．
……
Ⅴ．课后作业
1．习题3．3的第1、2题．
2．通过习题总结分式的乘方运算．
Ⅵ．活动与探究
已知a2+3a+1=0,求
（1）a+
;（2）a2+
;
（3）a3+
;（4）a4+

［过程］ 根据题意可知a≠0，观察所求四个式子不难发现只要求出（1），其他便可迎刃而解．因为a2+3a+1=0，a≠0，所以a2+3a+1=0两边同除以a,得a+3+
=0，a+
=－3．
［结果］因为a2+3a+1=0,a≠0,
（1）a2+3a+1=0两边同除以a，得
a+3+
=0,a+
=－3;
（2）a2+
=（a+
）2－2=（－3）2－2=7;
（3）a3+
=（a+
）（a2+
－1）=（－3）×（7－1）=－18;
（4）a4+
=（a2+
）2－2=72－2=47．
板书设计
§3．2 分式的乘除法
一、运算法则：

×
=
;
÷
=
×
=
．
（其中a、c、d是不为零的整式，
,
是分式）．
二、应用，升华
［例1］（1）
·
；（2）
·
．
分析：（1）对照分式乘法的运算法则．
（2）运算的结果要化简．
（3）分子、分母如果是多项式，应先分解因式，可以使运算少走弯路．
［例2］（1）3xy2÷
；
（2）
÷

（略）