提公因式法
三、教学过程
引言：同学们在小学里学完整数的四则运算和应用题之后，就学习因数分解．因为通分和约分要直接应用质因数分解．在初中一年级，我们已经学习了整式．本学期，代数课先学习因式分解．因为这部分内容不仅在分式的通分和约分里有直接的应用，而且在解方程和各种式子的恒等变形等方面经常用到，希望同学们努力学好它．
从初中《代数》课本第二册(以下简称教科书)第2页上半部分的图，同学们可看出用字母表示分配律的等式
m(a+b+c)=ma+mb+mc ①
这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．
把①式反过来写，就是
ma+mb+mc=m(a+b+c) ②
这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形．
从教科书第2页下半部可知
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
表明两个多项式相乘，结果仍是一个多项式．
把③式反过来写，就是
am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
这个式子表明：把一个多项式通过先分组，再化为两个整式的积．
可见③式是做整式乘法，④式是进行因式分解，它们是互逆的两种整式变形．
②式给出了因式分解的一种基本方法──提公因式法，④式给出了因式分解的另一种方法──分组分解法．
这一章就是学习因式分解的几种基本方法．
提公因式法：
同学们看多项式
ma+mb+mc，
各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bd－d的公因式．
根据乘法分配律，可得
m(a+b+c)=ma+mb+mc ⑤
将⑤式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式．
ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑥
也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bd－d的公因式．
根据乘法分配律，可得
m(a+b+c)=ma+mb+mc
将⑤式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式．
ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑥
也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式．
1．公因式是单项式的类型
例1 把8a3b2－12ab3c分解因式．
解：8a3b2－12ab3c
=4ab2·2a2－4ab2·3bc
=4ab2(2a2－3bc)
说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
例2 把3x2－6xy+x分解因式
解：3x2－6xy+x
=x·3x－x·6y+x·1
=x(3x－6y+1)
说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．
例3 把－4m3+16m2－26m分解因式
解：－4m3+16m2－26m
=－－(4m3－16m2+26m)
=－2m(2m2－8m+13)
说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．
2．公因式是二项式或三项式乘方的类型
例4 把2a(b+c)－3(b+c)分解因式
解：令m=b+c，则
2a(b+c)－3(b+c)


=(b+c)(2a－3)
例5 把6(x－2)+x(2－x)分解因式
解：6(x－2)+x(2－x)
=6(x－2)－x(x－2)
=(x－2)(6－x)
例6 把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式
解：18b(a－b)2－12(a－b)3
=6(a－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b)
=6(a－b)2[3b－2(a－b)]
=6(a－b)2(3b－2a+2b)
=6(a－b)2(5b－2a)
例7 把5(x－y)3+10(y－x)2分解因式．
解：因为(y－x)2=[－(x－y)]2=(x－y)2所以
5(x－y)3+10(y－x)2
=5(x－y)2·(x－y)+5(x－y)2·2
=5(x－y)2(x－y+2)
说明：(1)进行因式分解时常用的一些等式
b－a=－(a－b)；
(b－a)2=(a－b)2;
(b－a)3=－(a－b)3.


(2)在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如
(m+n)(p+q)－(m+n)(p－q)
=(m+n)[(p+q)－(p－q)]
=(m+n)(p+q－p+q)
=(m+n)·2q=2q(m+n)
本课题可分三课时进行教学
第一课时
内容：引言，因式分解的意义，因式分解与整式乘法的区别与联系．
例题：1．根据乘法运算
(a+b)(a－b)=a2－b2;
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab;
(a+b)(a2－ab+b2)=a3+b3
把下列多项式分解因式：
(1)a2－b2；(2)x2+(a+b)x+ab；(3)a3+b3
练习：
1．(口答)下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
(1)(x+2)(x－2)=x2－4；
(2)x2－4=(x+2)(x－2)；
(3)x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3x
2．根据乘法运算
m(a－b+c)=ma－mb+mc;
(x－2)2=x2－4x+4；
(x+1)(x2－x+1)=x3+1
把下列多项式分解因式：
(1)ma－mb+mc；(2)x2－4x+4；(3)x3+1．
作业：
根据乘法运算
(m+4)(m－4)=m2－16，
(x+2)(x+3)=x2+5x+6，
(y－3)2=y2－6y+9，
(p－2)(p2+2p+4)=p3－8，
把下列多项式分解因式
(1)m2－16；(2)x2+5x+6
(3)y2－6y+9；(4)p3－8．
第二课时
内容：提公因式法，公因式为单项式类型的多项式的因式分解，例1～例3．
练习：
1．(口答)指出下列多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay； (2)3mx－6mx；
(3)4a2+10ab； (4)15a2+5a；
(5)x2y+xy2； (6)12xyz－9x2y2
2．填空：
(1)2πR+2πr=______(R+r)；
(2)2πR+2πr=2π(______)；




(5)3x3+6x2=______(x+2)；
(6)7a2－21a=______(a－3)；
(7)15a2+25ab2=5a(______)；
(8)x2y+xy2－xy=xy(______)．
3．把下列各式分解因式：
(1)nx－ny；(2)a2+ab；
(3)4x3－6x2；(4)8m2n+2mn；
(5)3a2y－3ay+6y；(6)a2b－5ab+9b；
(7)－x2+xy－xz；(8)－24x2y－12xy2+28y3；
(9)－3ma3+6ma2－12ma；
(10)56x3yz+14x2y2z－21xy2z2
参考答案
1．(1)a；(2)3x；(3)2a；(4)5a；(5)xy；(6)3xy


3．(1)n(x－y)；(2)a(a+b)；(3)2x2(2x－3)；(4)2mn(4m+1)；(5)3y(a2－a+2)；
(6)b(a2－5a+9)；(7)－x(x－y+z)；(8)－4y(6x2+3xy－7y2)；(9)－3ma(a2－2a+4)；
(10)7xyz(8x2+2xy－3yz)．
作业
1．把下列各式分解因式
(1)cx－cy+cz； (2)px－qx－rx；
(3)15a3－10a2； (4)12abc－3bc2；
(5)4x2y－xy2； (6)63pq+14pq2；
(7)24a3m－18a2m2； (8)x6y－x4z
2．填空
(1)14abx－8ab2x+2ax=2ax(______)；‘
(2)－7ab－14abx+49aby=－7ab(______)
3．把下列各式分解因式：
(1)15x3y2+5x2y－20x2y3；
(2)6m2n－15mn2+30m2n2；
(3)－16x4－32x3+56x2；
(4)－4a3b2+6a2b－2ab．
参考答案
1．(1)c(x－y+z) (2)x(p－q－r)
(3)5a2(3a－2) (4)3bc(4a－c)
(5)xy(4x－y) (6)7pq(9+2q)
(7)6a2m(4a－3m) (8)x4(x2y－z)
2．(1)7b－4b2+1 (2)1+2x－7y
3．(1)5x2y(3xy+1－4y2)
(2)3mn(2m－5n+10mn)
(3)－8x2(2x2+4x－7)
(4)－2ab(2a2b－3a+1)
第三课时
内容：公因式为二项式或二项式乘方类型的多项式的因式分解．例4～例7．
练习：略
作业：略
四、需要注意的几个问题
1．教科书第2页上半部分：用一组矩形及两条逆向的箭头表明因式分解与整式乘法的区别和联系，这种利用直观形象简捷而生动地阐明数学概念和规律的方法，体现了数形结合思想的优越性，我们还可以就下半部分作类似的表述：
整式乘法(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn


因式分解am+an+bm+bn=a(m+b)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．它给出了因式分解的另一种基本方法──分组分解法．
2．在学习了公因式是单项式的多项式的因式分解后，讲例4时通过设m=b+c(这是换元)，将公因式是多项式的类型转化成已学过的公因式是单项式的简单类型来解决，这说明换元思想在解决数学问题时，常常起到化未知为已知、化繁为简、化难为易的作用．
结合课堂教学分析典型问题、阐明解题规律，揭示数学思想是提高学生数学能力的有效途径．