分式方程

教学目标
（一）教学知识点
1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题．
2．用分式方程来解决现实情境中的问题．
（二）能力训练要求
1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．
2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．
（三）情感与价值观要求
1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．
2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．
教学重点
1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．
2．根据实际意义检验解的合理性．
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．
教具准备
实物投影仪
投影片三张
第一张：做一做，（记作§3．4．3 A）
第二张：例3，（记作§3．4．3 B）
第三张：随堂练习，（记作§3．4．3 C）
教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．
接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．
Ⅱ．讲授新课
出示投影片（§3．4．3 A）
做一做
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系．
［生］第二年每间房屋的租金
=第一年每间房屋的租金+500元． （1）
［生］还有一个等量关系：
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．
［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．
同学们尽管提出符合情境的问题．
［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？
［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？
［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？
［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为
元，第二年每间房屋的租金为
元，根据题意，得

=
+500
解这个方程，得x=12
经检验x=12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
［生］根据第一问的答案可计算，得：
第一年每间房屋的租金为
=8000（元），
第二年每间房屋的租金为
=8500（元）．
［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？
［生］解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元．第一年租出的房间为
间，第二年租出的房间为
间，根据题意，得

=

解，得x=8000
x+500=8500（元）
经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意．
所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元．
［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．
出示投影片（§3．4．3 B）
［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3,则每立方米收费1．5元；若每户每月用水超过5 m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的
，张家当月水费是17．5元，李家当月水费是27．5元．超出5 m3的部分每立方米收费多少元？
［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？
［生］审清题意，找出题中的等量关系．
［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）
用水量
单价

不超过5米3
1．5元/米3

超过5米3超出的部分
？元/米3

你们找到题中的等量关系了吗？
［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的
．
［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？
［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费．
［师］下面我们就来用等量关系列出方程．
［师生共析］设超出5 m3部分的水，每立方米收费设为x元，则1月份，
张家超出5 m3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出5 m3的用水量为
m3，总用水量为5+
；
李家超出5 m3部分的水费为（27．5－1．5×5）元，超出5 m3的用水量为
m3，总用水量为（5+
） m3
根据等量关系，得

+5=（
+5）×

解这个方程，得x=2．
经检验x=2是所列方程的根．
所以超出5 m3部分的水，每立方米收费2元．
Ⅲ．随堂练习
出示投影片（§3．4．3 C）
小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？
［师］我们先来找到题中的等量关系．
［生］题中的等量关系有两个：
15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本．
硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+
）
［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．
［生］解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为（1+
）x元，那么15元钱可买软皮本
本，硬皮本
本．根据题意，得，

=
+1
解，得x=5
经检验x=5是原方程的根，也符合题意，所以（1+
）x=
×5=7．5（元）
故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7．5元．
Ⅳ．课时小结
列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．
Ⅴ．课后作业
习题3．8


图3－4
Ⅵ．活动与探究
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0．5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？（2003年吉林省中考题）
［过程］分析题目中的等量关系：
王老师骑车速度=王老师步行速度×3;
王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟．
［结果］设王老师步行速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h．
依题意，得
=
+

解得x=5
经检验x=5是原方程的根，这时3x=15
答：王老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h．
板书设计
§3．4．3 分式方程（三）
一、房屋出租问题
①等量关系：
第一年每间房屋租金+500=第二年每间房屋租金．
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋间数
二、节约用水
等量关系：
张家的用水量=李家用水量×

三、随堂练习
②提出问题