整式的乘除与因式分解
崇信二中 穆燕妮
一、同底数幂的乘法：
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即ａ　·ａ　＝ａ　（ｍ、ｎ都是正整数）。
注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即ａ　·ａ　·ａ　＝ａ　　（ｍ、ｎ、ｐ都是正整数）。
　　　　　（２）运算性质可以逆运用，即ａ　＝ａ　·ａ　。
　　　　　（３）幂的底数ａ可以是单项式，也可以是多项式。
二、幂的乘方与积的乘方：
（１）幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ａ　）　＝ａ　（ｍ、ｎ都是正整数）。
注意：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
　　（２）此性质可以逆运用，即ａ　＝（ａ　）　＝（ａ　）。
（２）积的乘方法则：
　　积的乘方，等于各因数乘方的积，即（ａｂ）　＝ａ　ｂ　（ｎ为正整数）。
　　注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（ａｂｃ）　＝ａ　·ｂ　·ｃ　（ｎ为正整数）。
　　　　（２）此性质可以逆运用，即ａ　·ｂ　＝（ａｂ）　。
三、同底数幂的除法：
同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即ａ　÷ａ　＝ａ　（ａ≠０，ｍ、ｎ为正整数，且ｍ＞ｎ）。
　　注意：此性质可以逆运用，即ａ　＝ａ　÷ａ　。
四、零指数幂与负整数指数幂：
　　在ａ　÷ａ　＝ａ　中，当ｍ＝ｎ时，规定ａ　÷ａ　＝ａ　＝１（ａ≠０）
　　当ｍ＜ｎ时，规定ａ　÷ａ　＝ａ　　＝　　。
（１）零指数幂的意义：
　　任何不等于零的数的零次幂都等于１，即ａ　＝１（ａ≠０）。
（２）负整数指数幂的意义：
　　任何不等于零的数的－ｎ（ｎ为正整数）次幂，等于这个数的ｎ次幂的倒数，即ａ　＝　　（ａ≠０，ｎ为正整数）。
　　注意：（１）在这两个幂的意义中，强调底数ａ都不等于零，否则无意义。
　　　　（２）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指的幂。
五、科学计数法：
　　利用科学计数法表示绝对值较大的数，即表示成ａ×１０　的形式，ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０。对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的计法，用１０的负整数次幂表示，而将原式写成ａ×１０　的形式，其中ｎ为正整数，１≤｜ａ｜＜１０，这也称为科学计数法。
六、单项式与单项式相乘：
单项式与单项式相乘的法则：
　　单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
七、单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘的法则：
　　单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。
　　注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
八、多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘的法则：
　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。
九、平方差公式：
（１）内容：
　　（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²
（２）意义：
　　两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
（３）特征：
　　①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差；
③公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。
（４）几何意义：
　　平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。
十、完全平方公式：
（１）内容：
　　（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ；
　　（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。
（２）意义：
　　两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。
　　两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。
（３）特征：
　　①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”
　　②公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。
（４）几何意义：
（５）推广：
　　①（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ；
　　②（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；
　　③（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。
十一、单项式与单项式相除：
单项式与单项式相除的法则：
单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：（１）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。
　　（２）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
十二、多项式与单项式相除：
多项式与单项式相除的法则：
　　一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＋ｄｍ）÷ｍ＝ａｍ÷ｍ＋÷ｂｍ÷ｍ＋ｃｍ÷ｍ＋ｄｍ÷ｍ。
　　注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。
十三、整式的混合运算：
　　关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。
十四、因式分解的意义：
　　把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。
注意：（１）因式分解的要求：
　　①结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；
　　②每个因式必须是整式；
　　③各因式要分解到不能分解为止。
　　（２）因式分解与整式乘法的关系：
　　是两种不同的变形过程，即互逆关系。
十五、因式分解的方法：
（１）提公因式法分解因式：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。
（２）利用公式法分解因式：
①平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。
②完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²；
　　　　　　　　　　ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。
注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
　　（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。
（３）分组分解法：
①将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。
②适用范围：适合四项以上的多项式的分解。
分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。
十六、因式分解的一般步骤及注意问题：
　　（１）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
（２）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
十七、添括号法则：
　　添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

整式的乘除与因式分解测试题
一、选择题
1、下列运算正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、

2、
（ ）
A、
B、
C、
D、

3、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A、
B、
C、
D、

4、如果
是一个完全平方式，那么k的值是（    ）
A、 15          B、 ±5       C、 30          D 、±30
5、化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是……………………………………………( )
A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5

6、计算结果是
的是（ ）
A、(x-1)(x+18) B、(x+2)(x+9) C、(x-3)(x+6) D、(x-2)(x+9)
7、
( )
A、50 B、-5 C、15 D、

8、下列各单项式中，与2x4y是同类项的为（ ）
A、2x4 B、2xy C、x4y D、2x2y3
9、下列分解因式正确的是（ ）
A.x3－x＝x(x2－1) B.m2＋m－6＝(m＋3)(m－2)
C.(a＋4)(a－4)＝a2－16 D.x2+y2＝(x－y)(x＋y)
10、下面是某同学在一次测验中的计算摘录：
①3a＋2b＝5ab； ②4m3n－5mn3＝－m3n； ③3x3·(－2x2)=－6x5；
④4a3b÷(－2a2b)＝－2a； ⑤(a3)2＝a5； ⑥(－a)3÷(－a)＝－a2
其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
11、(1)当x_______时，(x－4)0等于______；
(2)( )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。
12、分解因式：a2－1＋b2－2ab＝________________.

13、多项式
的公因式是___________.
14、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.
15、若a2+2a+b2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________
16、（1）
_______。（2）
_______。
17、设
是一个完全平方式，则
=_______。
18、若(x2+y2)(x2+y2-1)=12， 则x2+y2=___________.
三、解答题
19、计算（1）
（2）

（3）（3a+2）(3a-2) (4)

20、分解因式 （1）x(x+y)-y(y+x) (2)


(3)
(4)

21、若
，求a+b的值。
22、已知a+b=1，ab=-12，求
、a-b的值。
23、化简求值：
，其中