15.4.1提公因式法(一)
  一、教学目标
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
3．树立学生“化零为整”的“化归”的数学思想，培养学生完整地、辩证地看问题的思想．
4．树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生的观察能力、分析问题及逆向思想的能力．
二、教学重点及难点
1．教学重点：因式分解的概念及提公因式法．
2．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．
三、教学方法
理论与实例相结合．
四、教学手段
设问式、启发式．
五、教学过程
(一)复习提问
1．乘法对加法的分配律．
2．添括号法则．
(二)新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
在代数里学习分式的时候，也常常要进行约分、通分，因此要常常把一个多项式化成几个整式的乘积．
在中学里一元高次(二次以上)方程的求解正是根据在实数域上，实系数多项式总可以分解为一次或二次不可约多项式的乘积，那么相应的一元高次方程可以化为一次或二次方程求解．
又如一元高次不等式的解法，也是基于一次、二次不等式的解法．将高次不等式化为一、二次不等式组解．
因此从知识内容看，把一个多项式恒等变形成几个因式乘积是十分重要的．
这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
2．因式分解的概念：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)＝a2-b2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．
再请学生观察它们有什么共同的特点？
特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形．因式分解的特征是和差化积的形式，乘法的特征是积化和差的形式．
例1  下列各式从左到右哪些是因式分解？
(1)x2-x＝x(x-1)                                                   (√)
(2)a(a-b)＝a2-ab                                                  (×)
(3)(a+3)(a-3)＝a2-9                                             (×)
(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1                                          (×)
(5)x2-4x+4＝(x-2)2                                              (√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法．
3．提公因式法：
我们看多项式：ma+mb+mc
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2-a各项的公因式．
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．
根据乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a                                           (a)
(2)3mx-6mx2                                        (3mx)
(3)4a2+10ah                                          (2a)
(4)x2y+xy2                                            (xy)
(5)12xyz-9x2y2                                      (3xy)
例3  把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc
=4ab2(2a2-3bc)．
说明：(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．
例4  把3x2-6xy+x 分解因式．
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．
解：3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
＝x(3x-6y+1)．
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．
课堂练习：
把下列各式分解因式：
(l)2πR+2πr；


(3)3x3+6x2；
(4)21a2+7a；
(5)15a2+25ab2；
(6)x2y+xy2-xy．
例5  把-4m3+16m2-26m分解因式．
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，注意添括号法则．
解：-4m3+16m2-26m
＝-(4m3-16m2+26m)
＝-2m(2m2-8m+13)．
说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．
课堂练习：
把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；


(三)小结
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
六、作业
教材 1、2、3、4．
七、板书设计


提公因式法
同步训练8：
下列各式得公因式是a得是（ ）
ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma
－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（ ）
－3x B．3xz C．3yz D．－3xy
把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（ ）
A．8（7a－8b）（a－b）B．2（7a－8b）2 C．8（7a－8b）（b－a）D．－2（7a－8b）
4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
5．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
6．观察下列各式①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2和y2。其中有公因式的是（ ）
A．①② B。②③ C．③④ D．①④
7．当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－a）n。（其中n为正整数）
8．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因式应是_____。
9．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________。
10．多项式18xn＋1－24xn的公因式是_______。
11．把下列各式分解因式：
（1）15×（a－b）2－3y（b－a）
（2）（a－3）2－（2a－6）
（3）－20a－15ax
（4）（m＋n）（p－q）－（m＋n）（q＋p）
12．利用分解因式方法计算：
（1）39×37-13×34
（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14
13．先化简，再求值：
已知串联电路的电压U＝IR1+IR2+IR3,当R1＝12.9，R2=18.5,R3=18.6,I=2.3时，求U的值。
14．已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值。

答案：
1．D 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．偶数 奇数 8．－a（a－b）2
9．（a－b＋x－y） 10。6xn 3x－4
11。（1）3（a－b）（5ax－5bx＋y）；（2）（a－3）（a－5）；（3）－5a（4＋3x）；（4）－2q（m＋n）
12。（1）原式＝39×37-39×33＝39（37-27）＝390
（2）原式＝19.99（29+72+13-14）＝19.99×100＝1999
13。U=I(R1+R2+R3)=2.3(12.9+18.5+18.6)=2.3*50=115
14。由4a2b＋4ab2－4a－4b＝4（a＋b）（ab－1）＝－16
15.4.2平方差公式
教学目标：
1、理解平方差的定义，掌握平方差公式左边是两个数平方差，右边是两个数的和乘以它们的差的形式，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
2、通过例题、练习的操作，提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.
教学重点： 掌握平方差公式进行因式分解.
教学难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并要分解彻底.
教学方法：启发、探索、讨论、交流
教学工具： 投影仪、课件
教学过程：
一、知识回顾
1、请大家回顾一下，上节课我们学习了什么内容？（学生回答：提公因式法进行因式分解）
2、那么什么叫因式分解呢？它和整式的乘法有什么关系？（请学生回答：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，叫做因式分解）
3、什么叫提公因式法呢？（学生回答：把多项式里的公因式提出来，将多项式化为几个整式的乘积的方法叫做提公因式法.
4、将下列各式进行因式分解：
（1）4x
(2)-3ma

（3）2a(b+c) -3(b+c) (4)5(x-y)
+10(y-x)

请四位同学分别作答
5、请同学们回忆：我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.
（请同学回答：平方差公式(a+b)(a-b)=a
完全平方公式
(a
)
）
（以上问题均用幻灯片显示出来）
二、探索问题，导入新知
老师提问：我们这节课先来看平方差公式(a+b)(a-b)=a
，同学们都知道它是等式，我们根据等式的意义，可以得到什么呢？把得到的结果进一步分析又能得到什么样的结论呢？
于是，我们就得到： a
-b
=(a+b)(a-b)
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式.
老师总结：我们可以看到，上式是利用平方差公式进行因式分解的，这种利用乘法公式进行因式分解的方法称为公式法.由此，我们得到了第二种因式分解的方法——公式法，所以以后做题先要观察题目的类型，再确定用哪种因式分解的方法.
动手体验，感受新知（以下两题用幻灯片显示出来）
下列各式能否用平方差公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.
（1）x
(2)x
(3)-x
(4)-x

2、对下列多项式进行因式分解：
（1）、x
（2）、a
-4b

老师总结：在做第（2）小题时，可先将其化为（ ）
）
的形式，这时就不会再出错了，对于本题第一步就将其转化为
的形式，这时在正确的运用公式就可以了
三、参与其中，主动探究（例题用幻灯显示）
例1、对下列多项式进行因式分解：
（1）x
（2）1-25b

（3）x
（4）

分析：以上各式均满足使用平方差公式分解因式的条件，所以可直接利用公式进行因式分解.
解：（1）x
=x
=(x+4)(x-4)
（2）1-25b
=1
=(1+5b)(1-5b)
请同学们仿照（1）（2）两题完成后面两小题.（请两位同学上来演板，然后老师做总结）
（3）x
=(xy)

（4）
=(
)
-(0.1n)
=(
)(
)
例2、把下列各式分解因式：
（1）-49+x
（2）4(x+m)
-(x-m)
（3）x
（4）x

提问：以上各题，应该怎样进行因式分解呢？请同学们思考一下.
请同学回答.
教师总结并给出详细的分析：（1）中的多项式可以写成省略加号的和的形式或运用添括号法则把第一项的系数变为正的，即（1）属于可化为可以运用平方差公式分解因式的类型，（2）中的式子4（x+m）
可写成[2(x+m)]
，可以看出它也可以运用平方差公式分解因式，（3）中有公因式，故应先提公因式看出它也可以用平方差公式分解因式.
解：（1）-49+x
= x
-49=x
=（x+7）（x-7）
或 -49+x

4(x+m)
-(x-m)
=

=

=(3x+m)(x+3m)
（3）x
=x(x
)=x(x+1)(x-1)
（4）x
=(x
)
=(x
)(x
)=(x
) (x+y)(x-y)
老师作如下总结：（1）如果多项式的各项含有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式（如第（3）小题）；
（2）分解因式，必须分解彻底，即必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止（如第（3）（4）两小题）.
四、随堂练习，巩固新知（用幻灯片显示）
1、（口答）把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)

2、把下列各式分解因式：
(1)x
(2)25m
(3)2ab
(4)1-a
(5)-81x
(6)(3m+2n)

3、利用因式分解计算：535


全课小结，提高认识
复习巩固因式分解的内容：因式分解的意义、因式分解与整式的乘法的关系；提公因式法，公式法之平方差公式；注意平方差公式适用于只有两项而且是两个数的平方差或者是可化为平方差的形式的两项式，因式分解要分解彻底——即每一个多项式都不能再分解为止.
六、课后作业
把下列多项式分解因式：
（1）a
（2）(xy)
（3）a
（4）0.49m

（5）
（6）-n
（7）(2x+y)
（8）81b

七、板书设计
平方差公式
公式法的定义
因式分解
第二课时 平方差公式

例2


练 习

例1


练 习






15.4.2乘法公式分解因式
〖教学目标〗
◆1、会用完全平方公式分解因式。
◆2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：用完全平方公式分解因式是本节教学的重点．
◆教学难点：例3分解和化简过程比较复杂，是本节教学的难点。
〖教学过程〗
引入：
通过前两节课的学习，我们已掌握了运用“提取公因式法分解因式”和“运用平方差公式分解因式”，尤其是“平方差公式分解因式”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解。在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式：　　　　
(a+b)2=a2+2ab+b2 , (a－b)2=a2－2ab+b2,
今天我们将借助于这两个完全平方公式的逆向使用来进行分解因式。(板书课题)
新课：
1、板书：　a2+2ab+b2＝(a+b)2　　　a2－2ab+b2＝(a－b)2
这就是说，两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。
运用完全平方公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的和（或者差）的完全平方（仿书本“例如”举例说明）
2、完全平方式： a2+2ab+b2，　a2－2ab+b2。
对一个多项式能否直接用完全平方公式，首先应判断其是否完全平方式。
判断下列各式是否完全平方式：
（1）4x3－4x+1　（2）4x2－2x+1　（3）4x2－4x+1　（4）x2－x+

(5)
+1－
x
具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看能否把其中的某两个数的平方和的形式。　　（2）如果能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要乍剩下的一项能否写成加上或减去同样两数乘积的两倍的形式。例如：4x3－4x+1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－2x+1中的4x2+1虽然可以看成2x与1的平方和，但是剩下的一项－2x并不是－2x与1乘积的两倍。因此也不能用完全平方公式来分解因式。
4x2－4x+1中的4x2+1可以看成2x与1的平方和，并且剩下的一项－4x恰好是－2x与1乘积的两倍，所以可以用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x与1的差的平方。

+1－
x，虽然外观与a2－2ab+b2不一致，但它是完全平方式。
（通过这样正、反两方面的对照，使学生正确判别能否用完全平方公式分解因式，以及分解的结果是什么样的两数和（或差）的平方。）
3、例2　　把下列各式分解因式：
（1）4a2+12ab+9b2; (2) ―x2+4xy―4y2 (3) 3ax2+6axy+3ay2
范例讲解应注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x2+4xy―4y2=―(x2―4xy+4y2) （2）第（3）由学生思考后，强调“多项式中有公因式的先提取公因式”
例3、分解因式：(2x+y)2－(2x+y)+9
本例分析要突出换元的思想，也就是把(2x+y)看作一个整体，教学中应当使学生理解换元的含义，体验换元的作用。
三、练习：书本170页“课内练习1、2”
四、小结：
1、通过这两节课的学习，我们熟悉了运用平方差公式分解因式和运用完全平方公式分解因式。一般地，利用公式a2－b2＝(a+b)(a－b)，或a2±2ab+b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。公式中的a,b可以是一个数，也可以是一个整式。
2、运用公式法分解因式的关键是判断能用哪个公式，然后针对公式进行分解。　　3、对综合运用多种方法分解因式时，应先考虑有公因式的先提取公因式，后运用公式法分解因式。
4、分解后的各因式，如果可以去括号、合并同类项等化简，则要化简。
5、本节例3所涉及的换元思想，在以后的数学学习中还会比较广泛的应用，需要进一步的熟练。
五、布置作业：书本171
必做题：1、2、3、4、5、6 作业本
选做题：7