第三节 因式分解 第1课时
人教版初中数学八年级上册 第十四章《整式的乘法与因式分解》
学习目标
1.学习分解因式的定义；
2.掌握提公因式法分解因式；
3.探索利用公式法分解因式；
4.学会运用知识的迁移和转化。
问题导入
你知道12能被哪几个整数整除？
12=2×2×3
我们把这种运算叫做分解质因数。
同理，代数式3x2+6xy能被哪几个整式整除呢？今天就让我们一起来探究。
上节回顾
前面几节我们学习了整式的乘法运算，主要是单项式和多项式的乘法和多项式和多项式的乘法运算。并且还学到了三个十分有用的公式。
完全平方公式和平方差公式。
探究活动一
自读教材，理解什么是因式分解，什么是分解因式。
计算：3x(x+2y)
解： 3x(x+2y)=3x2+6xy
反过来说， 3x2+6xy能被哪几个整式整除呢？
上面我们把一个多项式3x2+6xy化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。
分解因式
因式分解
因式分解
整式乘法
3x2+6xy =3x(x+2y)
提示：因式分解与整式乘法是逆运算
3x2+6xy
3x(x+2y)
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。
探究活动二 提公因式分解因式
a
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
m
m
分解因式ma+mb+mc= m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做公因式。
结论
在刚才的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。

提示：分解因式最先要考虑的就是看是否有公因式。
置疑：如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母，
且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
最大公因数为3
= 3
a的最低指数为1
a
b的最低指数为1
b
(3a–5bc)
= – 4
s
t2
(3s2–2t+1)
p
q
(5q+7p+3)
巩固练习
提示：不要一开始就展开运算合并，有些部分可以看做一个整体。
计算下列各题
1.92-1 2.992-1 3.9992-1
第一个很好计算是吧，第二个第三个就不那么容易了，试试用这个方法。
1. 92-1=92-12=（9+1）（9-1）=10×8=80
2. 992-1=992-12= （99+1）（99-1）=100×98=9800
3. ……
你能发现其中的技巧吗？
探究活动三
结 论
利用平方差公式分解因式
巩固练习
分解因式
① a2 – 9 = __________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________
(a+3)(a–3)
(7+n)(7–n)
5(s+2t)(s–2t)
(10x+3y)(10x–3y)
= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1)
– 4x2 + y2
x4 – 1
(x2–1)
= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
(x+1)(x–1)
提示：当因式还能分解时要继续要分解。
典型例题讲解
还记得前面学的完全平方公式吗？
计算：
探究活动四
结 论
利用完全平方公式分解因式

形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的代数式，可因式分解为
（a+b）2或（a-b）2
巩固练习
对下列各式因式分解：

① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
(a+3)2
(n–5)2
4(t–1)2
(2x–3y)2
归纳
利用平方差，或者完全平方公式来进行因式分解的方法我们称之为公式法分解因式。
选择恰当的方法进行因式分解。
综合练习
小提示：
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
小结
本节课我们学习了
1.分解因式的定义
2分解因式的两种方法
提公因式法
公式法
公式法包括利用平方差和利用完全平方公式
作业：见课后练习题
拓展：阅读课后链接
再见！
这节课就到这里
人教版初中数学八年级上册 第十四章《整式的乘法与因式分解》
第三节 因式分解 第2课时
学习目标
1.掌握利用“十字相乘法”分解因式；
2.熟练分解因式的方法；
3.探索分解因式的技巧；
4.学会运用知识的迁移和转化。
问题导入
上节课我们学习了分解因式的定义和分解因式的一些方法。我们发现有些代数式是不能用提公因式法和公式法进行因式分解的，例如：分解因式x2+4x+3，那么这些问题又该如何解决呢？今天就让我们一起来探究。
回顾复习
上节课我们学习了
1.分解因式的定义？
2分解因式的两种方法
提公因式法？
公式法
公式法包括利用平方差？和利用完全平方公式？
探究活动一
试计算(x+1)(x+3)
(x+1)(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3
那么，分解因式x2+4x+3应该为
x2+4x+3= (x+1)(x+3)
这里有同学就说了，我们知道因式，乘完后再反过来，分解因式这也不能解决问题呀？
能不能找到一个方法，解决这一类问题呢？
分析讲解
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)

再如：例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)
有没有发现规律呢？
例3. 分解因式6 x2 + 7 x + 2
6 x2 + 7 x + 2=（2x+1）(3x+2)

例4. 分解因式3 x2 + 11 x + 10
3 x2 + 11 x + 10= (x+2)(3x+5)
= 17
3 x2 + 11 x + 10
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2
4
+ 3
= 7
∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
1
3
5
2
2
+ 15
= 11
1
3
2
5
5
+ 6
∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)
结论
可以利用“十字相乘法”来分解因式；
“十字相乘法”可用来分解二次三项式；
但在选择二次项和常数项拆分时需要
多尝试，才能找出因数准确的系数。
= –6
5 x2 – 6 xy – 8 y2
因式分解5x2–6xy–8y2。
1
5
–2
4
4
– 10
∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
巩固练习
提示：这里仍然可以用十字相乘法。
因式分解 ab–ac+bd–cd 。
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
探究活动二
因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
这种方法叫做分组分解法，先结合分解，再提公因式，有一定难度。
巩固练习
1）xy–xz–y2+2yz–z2
提示：先结合，再分解，再提公因式
原式=（xy-xz）-(y2-2yz+z2)
=x(y-z)-(y-z)2
=(y-z)[x-(y-z)]==(y-z)(x-y+z)
2）a2–b2–c2–2bc–2a+1
原式=a2-2a+1-(b2+c2+2bc) (先结合)
=(a+1)2-(b+c)2 （分别分解）
=[(a+1)+(b+c)][(a+1)-(b+c)]（再用公式法）
=(a+b+c+1)(a-b-c+1) （再化简）
因式分解 x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
完全平方公式
平方差公式
这里用了拆项添项法，先加上4x2，再减去4x2，原式的值不变。
讲解：配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
配方法 (拆项添项法)分组分解法
完全平方公式
平方差公式
试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：

解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
拓展提高
这种方法叫做待定系数法
小结
本节课我们学习了
1.用“十字相乘法”分解因式
2.分解因式的其他特殊方法
3.因式分解需要根据具体题型选择合适恰当的方法。这需要同学们多观察、多发现、多实践。
综合练习
2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z)
C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。
提高训练
作业：见课后练习题
拓展：阅读课后链接《巧用分组分解因式 》
再见！
这节课就到这里