新人教版 · 数学 · 八年级(上)
第4课时
十字相乘法和分组分解法
15.3因式分解
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式：
当q>0时，q分解的因数a、b（ ）
当q<0时，q分解的因数a、b（ ）
同号
异号
知识要点
q=ab，p=a+b
x2+px+q=
x2+(a+b)x+ab=
x
x
a
b
ax
+
bx
=
(a+b)x
(x+a)(x+b)
步骤：
①竖分二次项与常数项；
②交叉相乘，和相加；
③检验确定，横写因式．
顺口溜：
竖分常数交叉验，
横写因式不能乱．
1．x2+8x+12=
2．x2-11x-12=
3．x2-7x+12=
4．x2-4x-12=
(x+2)(x+6)
(x-6)(x+2)
(x-3)(x-4)
(x-12)(x+1)
5．x2+13x+12=
(x+1)(x+12)
6．x2-x-12=
(x-4)(x+3)
将下列各式因式分解：
对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个问题：
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律：
　　当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
　　当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
知识要点
分组分解法分解因式：
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
mx+my-nx-ny
①
②
③
④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y)
=(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny)
解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n)
= (m-n) (x+y)
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组
之间还有公因式可以提．
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是
一样的．
把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2
=(x+y)2-z2
=(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(b+1)(a+1)
（3）9a4-4a2+4a-1
解：9a4-4a2+4a-1
= 9a4-(4a2-4a+1)
= 9a4-(2a-1) 2
= (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48
= (x2+x-6)(x2+x-8)
= (x+3)(x-2)(x2+x-8)
（2007年株洲市）
分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
解：令x4+x2=m，则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
= m2-m-12+10
= m2-m-2
= (m-2)(m+1)
= (x4+x2-2)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
= (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )
= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )
= (a +b) ( a2 - 2b2 )
=0
解：4x4+1
= 4x4+4x2+1-4x2
=（2x2+1）2-（2x）2
=（ 2x2+1+ 2x）（ 2x2+1-2x）
因式分解：4x4+1
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．