第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式第一课时 14.2.1 平方差公式
经历探索平方差公式的过程。
会根据多项式的乘法法则推导平方差公式。
熟练掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式进行相关计算。
动脑想一想
多项式和多项式怎样相乘？
(a+b)(m+n)
am
an
bm
bn
一一握手
阿凡提与财主
阿凡提
巴依老爷
阿凡提，明年的地租该交了，对了，明年地租涨价了。
又涨价啦？巴依老爷咱不是说好五年之内地租不涨价吗，合同都签了，您要是涨租子我就去告你！
阿凡提与财主
阿凡提
巴依老爷
不涨价可以，那你换一块儿地种吧！原来那块正方形的地我要租给别人了。
那您直说要换地不就得了嘛。您这次给我一块什么样的地啊？要是地变少了我可不干啊！
阿凡提与财主
阿凡提
巴依老爷
现在这块地跟原来那块正方形的地相比，一边加5米，一边减5米，你看你也不吃亏。
巴依老爷，您这可就是欺负人了啊，背信弃义不说，还过来蒙我！大伙评评理，我要去告官！
为什么阿凡提没有同意换地呢？
动脑想一想
相等吗？
a2
(a+5)(a-5)
计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(x+1)(x−1)= 。
(m+2)(m−2)= 。
(2x+1)(2x−1)= 。
动脑想一想
x2−1
m2−4
4x2−1
式子的结果有什么相似的地方吗？
(a+b)(a−b)
= a2−ab+ab−b2
= a2−b2
动脑想一想
算一算下面的式子
平方差公式
对于具有和上面左侧相同结构的多项式相乘，可以直接写出来运算结果。
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差。
动脑想一想
解：原式=(3x)2−22
=9x2−4
计算： (3x+2)(3x−2)
把3x看成a
把2看成b
(a+b)(a−b)= a2−b2
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
同号项
异号项
同号项的平方
异号项的平方
动脑想一想
解：原式=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
计算： (-x+2y)(-x-2y)
−x是同号项
2y是异号项
同号项的平方减异号项的平方
平方差公式的变体
(a+b)(a−b)= a2−b2
(a−b)(a+b)= a2−b2
(−b+a)(b+a)= a2−b2
下列式子可以用平方差公式计算吗？
动脑想一想
(2+a)(a−2)
(−4k+3)(−4k−3)
(1−x)(−x−1)
(−x−1)(x+1)
(x+3)(x−2)
(a+b−c)(a−b−c)
可以
可以
可以
可以
不可以
可以
a−c同号项
b异号项
动脑想一想
解：原式= y2−22−(y2+4y−5)
= y2−4−y2−4y+5
= −4y + 1
计算：(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。
动脑想一想
解：原式= (100+2)(100−2)
= 1002−22
= 10000–4
= 9996
计算：102×98
观察这两个数，有什么特点？可以速算吗？
为什么阿凡提没有同意换地呢？
动脑想一想
不相等！
a2
(a+5)(a-5)
a2-25
你能根据这幅图，直观地说明平方差公式吗？
动脑想一想
学完本节课你应该知道
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2
同号项的平方减异号项的平方
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余运算仍按照运算规则进行
动笔练一练
下列式子中，可以用平方差公式计算的是
(x−2y)(2y+x)
(x−2y)(−x−2y)
(−x−2y) (x+2y)
(x−2y)(−x+2y)
1和2
动笔练一练
下列式子中，可以用平方差公式计算的是
(a−b−c)(a−b−c)
(a+b−c)(−a−b+c)
(3m−n+1)(3m+n+1)
(−3a+5b)(3a−5b)
C
动笔练一练
下列计算正确的是（ ）
(x+2) (x−2) = x2−2
(−m−n) (m+n) = m2−n2
(a+2b) (2b−a) = 4b2−a2
(2x+1) (2x−3) = 4x2−3
C
动笔练一练
9x2−y2
9y2−25x2
4b2−9a2
2499
动笔练一练
用平方差公式计算20152−2014×2016
解：原式= 20152−2014×2016
= 20152−(2015−1)×(2015+1)
= 20152−(20152 −1)
= 20152−20152 +1
= 1
动笔练一练
计算：(3x+4) (3x−4)−(2x+3) (3x−2)
解：原式=(9x2−16)−(6x2−4x+9x−6)
=9x2−16−6x2+4x−9x+6
=3x2−5x−10
动笔练一练
计算：1002−992+982−972+…+22−12
解：原式=(100−99)(100+99)+(98−97)(98+97)+…+(2−1)(2+1)
=100+99+98+…+2+1
=5050
课后练一练
请同学们独立完成配套课后练习题。
下课！
谢谢同学们！
第十四章 整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式第一课时 14.2.2 完全平方公式
经历探索完全平方公式的过程，会结合几何图形直观解释这一公式，并会根据多项式的乘法法则推导完全平方公式。
熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。
掌握完全平方公式的相关推论。
复习和回顾
同号项的平方减去异号项的平方！
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差。
思考和交流
学校为了美化环境，决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。扩建完的花坛仍为正方形，边长增加b米。
新修建的花坛面积可以怎么表示？
整个正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为 。
将整个正方形分为四部分，面积可以表示为 。
你能得到什么猜想？
动脑想一想
(a+b)2
a2
b2
ab
ab
a2+2ab+b2
动手算一算
计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。
(m+2)2= 。
p2+2p+1
m2+4m+4
(a+b)2=(a+b) (a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2
两数和的平方,
等于这两个数的平方和，
加上这两个数的乘积的2倍。
动手算一算
计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(p−1)2= (p−1)(p−1) = 。
(m−2)2= 。
p2−2p+1
m2−4m+4
(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2+2a(−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2
两数差的完全平方公式
(a−b)2= a2−2ab+b2
两数差的平方,
等于这两个数的平方和，
减去这两个数的乘积的2倍。
动手算一算
计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(p−1)2= (p−1)(p−1) = 。
(m−2)2= 。
p2−2p+1
m2−4m+4
(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2+2a(−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2
两数差的完全平方公式
(a−b)2= a2−2ab+b2
两数差的平方,
等于这两个数的平方和，
减去这两个数的乘积的2倍。
你能仿照刚才的方法，用旁边的这幅图，直观地说明两数差的完全平方公式吗？
动脑想一想
(a−b)2= a2−2ab+b2
完全平方公式
上述两个公式叫做（乘法的）完全平方公式，可以简写成下面的形式：
(a±b)2= a2±2ab+b2
首平方，尾平方
积的2倍放中央，中间符号同前方。
(a±b)2和a2±b2
注意：
(a±b)2读作a与b的和（或差）的平方
a2±b2读作a与b的平方的和（或差）
(a±b)2先算和差，再平方； a2±b2先算各自的平方，再求和。
若a≠0且b≠0，则(a±b)2≠a2±b2
动脑想一想
解：原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2
=16m2+8mn+n2
计算： (4m+n)2
把4m看成a
把n看成b
(a+b)2= a2+2ab+b2
动脑想一想

(a−b)2= a2−2ab+b2
动脑想一想
解：原式=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
计算： 1022
公式中的a，b还可以是数字
动脑想一想
解：原式=(100−1)2
=1002−2×100×1+12
=10000−200+4
=9801
计算： 992
公式中的a，b还可以是数字
(a+b)2和(−a−b)2相等吗？
(−a−b)2=(−a)2−2·(−a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(a−b)2和(b−a)2相等吗？
(b−a)2=b2−2ab+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2
(−a+b)2和(a−b)2相等吗？
(−a+b)2= (b−a)2=(a−b)2
动脑想一想
完全平方的变号作用
计算完全平方的结果时，最好先把括号里的首项化为正，这样便于对应公式。
更一般地，根据幂的乘方，可得如下规律：
(−a−b)2k=(a+b)2k ，
(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k
其中，k为正整数
动脑想一想
解：原式=(2x−5)2
=4x2−20x+25
计算： (−2x+5)2
先把首项变成正，方便对应公式
(−a+b)2k=(a−b)2k ，k为正整数
已知：a>b，且a+b=3，ab=2，则a−b=？
动脑想一想
(a+b)2=9
a2+2ab+b2=9
a2+b2=5
a2−2ab+b2=1
(a−b)2=1
a−b=1
两个重要关系

a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab
(a+b)2−(a−b)2=4ab
一般地，在a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2中，只要能够知道其中两个的式子取值，就能够根据完全平方公式，求出另外四个式子的值！
学完本节课你应该知道
完全平方
公式
(a±b)2= a2±2ab+b2
变号
法则
(−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，k为正整数
(−a−b)2k=(a+b)2k ， k为正整数
重要
推论
a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab
(a+b)2−(a−b)2=4ab
图形解释
动笔练一练
4x2−20x+25
16x2+24xy+25x2
9604
2601
动笔练一练
解：原式= 4x2−4x+1−(9x2+6x+1)
= 4x2−4x+1−9x2−6x−1
= −5x2−10x
计算(2x−1)2−(3x+1)2
若(x−1)2=x2+kx+1，则49−k的值是多少?
解：k=−2
49−k =492=(50−1)2=2500+1−100=2401
动笔练一练
解不等式：
(2x−5)2+(3x+1)2>13(x2−10)
解：(4x2−10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2−130
4x2−10x+25+9x2+6x+1>13x2−130
13x2−4x+26>13x2−130
−4x>−156
x<44
动笔练一练
已知a+b=2，a2+b2=10，试利用完全平方公式，简便地求ab，(a−b)，a，b的值。
解： (a+b)2=a2+2ab+b2=4，a2+b2=10，ab=−3
(a−b)2=(a+b)2−4ab=4+12=16
∴a−b=4或−4
若a−b=4，解二元一次方程组，得a=3，b=−1
同理，若a−b=−4，则得a=−1，b=3
课后练一练
请同学们独立完成配套课后练习题。
下课！
谢谢同学们！