XUEXISHUXUEHUIRANGNIBIANDEGENGCHONGMING
学习数学，会让你变得更聪明
问题1：
在约分通分时,我们通常要把一个整数分解成几个质因数的积.如18,可以分解为:18=
是100的倍数吗？你能快速作出判断吗？与同学交流一下，看看你的想法与同学的想法是不是一样？
2×3×3
问题2：
一、问题讨论
是不是100的倍数？
2、交流
1、讨论
你是怎么知道 是100的倍数的？
3、答成共识
逆用整式乘法，可把 写成99(99+1)
无论是约分，还是判断 是不是100的倍数，都需要把整数化成乘积的形式。
归纳：
类似的，为了解决问题方便起见，在式的变形中,有时也需要把一个多项式化成几个整式乘积的形式。为此，我们今天就来学习多项式的因式分解。
14.3 因式分解
1、你能把下面的式子写成几个整式积的形式吗？
X2+x=_______ x2-1=________
x(x+1)
(x+1)(x-1)
2、你是怎么想到的？与同学交流一下，
看看你的想法和同学想的是不是一样？
二、探究
利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化成一个多项式，反过来，也可以把一个多项式写成几个整式的积的形式。
3、成果交流
如把整式乘法x(x+1)=x2+x，反过来就得到因式分解x2+x=x(x+1)

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形就叫多项式的
因式分解。
也叫做把这个多项式
分解因式。
现在你能归纳出什么出来吗？
4、你知道什么是因式分解吗？
因式分解
整式乘法
5、因式分解与整式乘法的关系
从上面的探究，你发现因式分解与整式乘法是两种什么样的变形？
是因式分解的基本方法之一，现在我们就来学习它。
14.3.1 提取公因式法
一
提取公因式法
（1）什么是公因式？
我们把多项式
pa+pb+pc
中各项都有的公共因式P, 叫做这个多项式各项的公因式。
又如a2b3+b2c的每一项都有b2,则b2就是它们各项的公因式。
再如a2y2+b2y-a2b的各项没有公共的因式，所以这个多项式没有公因式。
指出下列各式中的公因式
（1） 8x+64_________
（2） 2ab2+ 4abc________
（3） m2n3 -3n2m3________
（4） a3b-2a2b2+ab3_________
（5）ab2(x+y)2-a2b(x+y)3 _________
8
2ab
m2n2
ab
ab(x+y)2
由整式乘法可得p(a+b+c)= pa+pb+pc
怎样提取公因式？提取公因式后的另一个因式是什么？
反过来就有pa+pb+pc = p(a+b+c），这样，
就把pa+pb+pc分解成了两个因式的积，其中一
个是公因式p，另一因式是pa+pb+pc除以公
因式p所得的商a+b+c。
（3）提取公因式法
根据上面的例子，你能说出怎样提取公因式吗？
如果多项式各项都有公因式，把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
例1、把8a3b2+12ab3c分解因式
分析：
①各项系数的最大公约数是____
②8a3b2和12ab3c 相同的字母是_______
③相同字母的最低次数：a的最低次数为___，
④公因式是_____
a、b
4
1
2
4ab2
b最低次数为___
想一想，怎样找公因式？
三、示范引领
根据上面的分析，你能把这个多项式分解因式吗？不妨试一试!
解： 8a3b2+12ab3c
= 4ab2 2a2+4ab2 3bc
=4ab2（2a2+3bc）
如果提取的公因式是4ab,另一个因式是否还有公因式？
我们把找公因式的方法归纳为三看：
一看系数
通过学习，你能总结出找公因式的方法吗？
最大公约数
相同字母
最低次幂
二看字母
三看指数
例2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式
温馨提示：这个多项式的公因式是什么？你看出来了吗？
解：2a(b+c)-３(b+c)
= (b+c) (2a-3)
想一想，怎样检验分解因式正确与否？
１、基础练习
把下列各式因式分解
18x2+12x3=________
8x2y3-6x3y2=_____________
(3) 2n(y-z)-3m(z-y)=___________
(4) 12a2b(p+q) 2-9ab2 (p+q) 2
=______________
(y-z)(2n+3m)
6x2 (3+2x)
3ab(p+q)２(4a-3b)
2x２y２(4y-3x)
四、巩固提升
下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1) x2-4=(x＋2)(x-2) _____
(2) (x＋2)(x-2)= x2-4 _____
(3) a2-b2＋1=(a＋b)(a-b)+1 ____
(4)(xy)2-1=x2y2-1 ____
(5) ax2＋ay2 =a(x2＋y2) _____
辨一辨
是
不是
不是
不是
是
利用因式分解计算
（1）2.1×3.14+2.2×3.14-3.3×3.14
解：=3.14 ×(2.1+2.2-3.3)
=3.14 ×1
=3.14
２、拓展练习
仔细辨认，这里的公因式是什么？
（2）3.2×34-6.7×34+1.5 × 9×32
解：3.2×34-6.7×34+1.5 × 34
=34 × (3.2- 6.7+1.5)
=81×(-2)
= -162
你知道它们的公因式吗？
（3）先分解因式，再求代数式的值.
2a2(x+5)-15(x+5),其中x=-4,a=-3.
解：2a2(x+5)-15(x+5)
=(x+5)(2a2-3)
当x=-4,a=-3时，
原式 =(-4+5)[2 ×(-3)2-15]
=3
1、已知:a-b=2,求代数式a2-ab-2b的值。
分析: 从整体观察,a2-ab-2b的各项没有公因式,从局部观察,前两项a2-ab有公因式b, 局部分解因式得a(a-b),将a-b=2 代入，问题就会迎刃而解，不妨一试。
怎样利用a-b=2这个条件？
３、能力提升
解 ：∵ a-b=2
∴ a2-ab-2b
= a(a-b)-2b
= 2a-2b
=2 (a-b)
=2 ×2
=4
利用a-b=2进行整体代换，你想到了吗？
2、22014+22012是5的倍数吗,为什么？
温馨提示：22014与22012都有公因式22012，提取公因式即可。
解：22014+22012
= 22012 ×22 +22012
= 22012（ 22 +1）
= 22012 ×5
由此可知，22014+22012是5的倍数。
1、你能简述因式分解的意义吗？
2、找公因式的“三看，你记住了吗？
3、提取公因式分有哪两步？
找出公因式 提取公因式
我们一起来回顾今天学习的内容，好吗？
五、小结
1、P.115.练习1-3.
2、P.119.复习巩固.1.
3、P.119.综合运用.4.（1）
六、作业
XUXUIEHUAOSHUXUIENIHUEIBIANDEGENGCONGMING
IEHUAOSHUXUIENIHUEIBIANDEGENGCONGMING
XUEXISHUXUEHUIRANGNIBIANDEGENGCHONGMING
学习数学，会让你变得更聪明
1152-152=？
上节课我们学习了因式分解，你能用因式分解的方法快速口算

比一比，试一试，看谁算得又对又快!
一、问题讨论
1、问题：
如果不能快速算出来，我们今天就来学习平方差公式，学了平方差公式，你就知道怎么才能算得快又对又快了。
你是怎么快速算出来的，说出来与大家一起分享？
2、讨论
1152-152=？
3、 交流
14.3.2 公式法
（平方差公式）
由于整式乘法与因式分解是相反方向的变形，把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,反过来得到因式分解的平方差公式
1、导出公式
即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
二、探究
右边：是a 、b两数的和与a 、b两数的差的积。即
左边：是a、b两个数的平方差，
2、探索发现
观察平方差公式，看看有什么特点？说出来和大家分享！
并且这两个平方项的符号相反。
即a2-b2，
(1) 公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式或多项式，也可以表示其他的式。
(2) 适用于平方差公式因式分解的多项式必须是两个平方项，并且这两个平方项的符号必须异号。
3、深刻理解
(1) 公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式或多项式，也可以表示其他的式。
(2) 适用于平方差公式因式分解的多项式必须是两个平方项，并且这两个平方项的符号必须异号。
3、深刻理解
异号， 符合平方差公式的特点，所以可用平方差公式进行分解。
1、直接应用
例3、分解因式
(1)4x2-9
分析：因为4x2= ，9=32,
且两个平方项
三 引领示范
解： 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3)
解：(x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q)
(2) (x+p)2-(x+q)2
分析：把x+p和x+q分别看成一个整体，在形式上就具备了平方差公式的特点，所以可用平方差公式分解。
2、活用公式
例4、分解公因式
(1)x4-y4
分析：将x4-y4写成 的形式，就具备平方差公式的特点了，所以可用平方差公式分解了。
解：
温馨提示：这里的x2-y2还能继续分解吗？要分解到每一个多项式不能再分解为止！
(2) a3b-ab
分析：a3b-ab有公因式ab，应先提取公因式，再进一步分解。
解：a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
_____
____
_____
_______
(1) 下列多项式，哪些能用平方差公式来分解因式，哪些不能？为什么？
1、基础练习
不能
能
不能
能
辨一辨
四、巩固提升
(3) 利用平方差公式计算
1012 ×25-992 ×25
解：25 ×(1012 -992)
=25× (101+99) (101 -99)
=25×200 ×2
=10000
(2) 将下列多项式分解因式：
① a2- 25 =___________________
② 9a2-b2=___________________
③ (a+b)2-9a2 = ________________
④ -a4+16 =____________________
(a+5 )( a – 5)
(4+a2 )( 2+a)(2-a)
(4a+b)(b-2a)
(3a+b )( 3a -b)
2、拓展练习
（1）已知 a-b=1,求a2-b2-2b的值。
温馨提示：从整体看，a2-b2-2b既不能提取公因式，又不能应用平方差公式分解.所以，我们应换一种思路考虑。从局部考虑，a2-b2是可以分解因式的，将a-b=1代入，就使代数式逐步降次化简，从而使问题得以解决。
想一想：怎样利用a-b=1这个条件？
解： ∵ a-b=1
∴ a2-b2-2b
=(a+b)(a-b)-2b
=(a+b)×1-2b
=a+b-2b
=a-b
=1
(2)已知：a2-b2=21, a-b=3，求代数式(a-3b)2的值。
分析：把 a2-b2=21的左边分解因式得，(a+b)(a-b)=21,将a-b=3代入得a+b=7,
由a-b=3及a+b=7,可求出a、b的值。
解： ∵ a-b=3，
∴(a+b)(a-b)=21，
∴ a+b=7
由 a-b=3和a+b=7解得
a=5,b=2
∴(a-3b)2=(5-3×2)2
=1
温馨提示：局部分解与整体代换，使多项式的次数降低了
3、能力提升
利用因式分解计算：
温馨提示：每个括号里的两项，有什么特点？可用平方差公式分解吗？分解后看看有什么规律？
考考你
解：
五、小结
1、今天学习了利用平方差公式分解因式，你有哪些收获？
2、平方差公式有哪些特点？你记住了吗？
3、分解因式要分解到多项式的每一项不能再分解为止!
1、P.117.练习2.
2、P.119.复习巩固.2.
3、P.119.综合运用.5.（3）
六、作业
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学习数学，会让你变得更聪明
前面我们学习了因式分解，你能用因式分解的方法快速口算出
（1）832+2×83×17+172
（2）1042-2×104×4+42
等于多少吗？
比一比，试一试，看谁算得又对又快!说出来和大家分享一下。
一、问题讨论
1、问题
如果能快速算出来，说说你是怎么算的？
如果不能快速口算出来，你想不想知道快速口算的方法呢？
2、讨论
（1）832+2×83×17+172=？
（2）1042-2×104×4+42=？
为了快速口算，我们今天就来学习完全平方式的因式分解，学了完全平方式的因式分解，你就知道快速口算的方法和技巧了。
3、揭题
（完全平方式）
公式法
因式分解与整式乘法是两种互逆的变形, 把乘法的完全平方式
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
反过来,就得到因式分解的完全平方式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
1、完全平方式
二、探究
2、辨析
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式
结构特点
（1） x2-4x+4______________
（2） x2+16 _________________
（3）9m2+3mn+n2_____________________
（4）-y2-12xy+36x2 ____________________
（5） -m2+10mn-5n2______________
（6） 9x2+6x_________________________
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？
是
不是，缺乘积项
不是，缺乘积项的2倍
不是，平方项异号
不是，只有一个平方项
是
辨一辨
例5 分解因式
16x2+24x+9= (4x)2+2.4x.3+32
(1) 16x2+24x+9
分析：16x2=(4x)2,9=32,24x=2.4x.3
符合完全平方式的特点，是一个完全平方式。即
三、引领示范
a2
+2.
a .
b
+b2
解： 16x2+24x+9
= (4x)2+2.4x.3+32
=(4x+3)2
(2) -x2+4xy-4y2
分析：-x2+4xy-4y2中有两个平方项，且平方项同为“-”，乘积项4xy正好是x与2y的积的2倍，符合完全平方式的结构特点。
解： -x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2）
=- [x2-2.x.2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
例6 分解因式
(1) 3ax2+6axy+3ay2
分析：3ax2+6axy+3ay2中，都有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解：3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：只要把a+b看成一个整体,(a+b)2-12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
解： (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2.(a+b).6+62
=(a+b-6)2
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2.(a+b).6+62
m2
- 2
. m
. 6
+62
现在回头来看看我们上课时提出的问题，快速口算
（1）832+2×83×17+172
（2）1042-2×104×4+42
你看出快速口算的奥妙了吧？你能快速口算了吗？
（1）832+2×83×17+172=(83+17)2=10000
（2）1042-2×104×4+42=(104-4)2=10000
现在回头来看看我们上课时提出的问题，快速口算
（1）832+2×83×17+172
（2）1042-2×104×4+42
你看出快速口算的奥妙了吧？你能快速口算了吗？
（1）832+2×83×17+172=(83+17)2=10000
（2）1042-2×104×4+42=(104-4)2=10000
_____+10xy+y2 =(___ +__)2
x2-_____+ ____=( __-3y )2
___+____+16y2= (3x +____ ) 2
____ -36mn+___=(___ - 2n)2
5x
9x2
x
9y2
6xy
25x2
y
4n2
81m2
9m
4x
24xy
1、基础练习
（1）填空
这些等式只给了两个已知项，你能完成这些填空吗？
四、巩固提升
（1）a2+8a+16

（2）-1-a2+2a

（3）xy-8xy2+16xy3

（4）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2
解:原式=(a+4)2
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2
解:原式=(a+2b-3a)2=(2b-a)2
2、分解因式
（1）已知4X2-px+9是完全平方式，求p的值。
2、 拓展练习
分析：完全平方式中的乘积项是一、二两数乘积的2倍。
解：把4X2-px+9变形为(2x)2+px+32,由完全平方式的意义得，
P=
你知道完全平方式中的乘积项是怎样组成的？
2 ×2 ×3
12
＝
(2) 分解因式
(x2+y2)2-4x2y2
从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合平方差公式的特点，可先用平方差公式分解，然后再用完全平方式进行分解。
解：(x2+y2)2-4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy]
=(x+y)2(x-y)2
温馨提示：
(1) 已知:a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值。
与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“奏”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解。
3、能力提升
温馨提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a-4b+5
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0
即(a+1)2+(b-2)2=0




∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的形状。
温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和，然后利用非负数性质就能解决问题了。
考考你
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0
(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即
(a-b)2+(b-c)2=0
∴ a-b=0，b-c=0
∴ a=b=c
所以 △ABC是等边三角形
1、学习了完全平方式你有哪些收获？
2、你能简述完全平方式的意义？
3、你会确定完全平方式中的乘积项？
4、你能综合应用所学的知识和多种技巧熟练的分解因式吗？
我们一起来回顾今天学习的内容，好吗？
五、小结
1、课堂练习
119页第1-2题
2、课外作业
119页复习巩固第3题、第5题
六、作业
再 见