三.函数的周期性
函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)
恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
例1 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立：
（1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）；
（2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）；
（3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0）
【例题讲解】
（4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0）
其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______．
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数，
且2a是周期；
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期．
综上所述，应填（1），（3），（4）．
例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有

f(x＋m)＝
,求证:2m是f(x)的一个周期.
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)

＝－ ,求证:4m是f(x)的一个周期.
证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
于是f(x＋4m) ＝－ ＝ f(x)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数.
例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
证明：不妨设a＞b于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b)) ＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x) ＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b))
＝f(x)∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期
例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)
解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004
例9 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x[0，1]时，f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为 ．
【解】∵ f (x+2)＝－f (x)，
∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)，
∴ f (x)是周期函数，4是周期．
∵ f (－x)＝－f (x)．
∴ f (x+2)＝f (－x)，
∴ f (x)的图像关于x＝1对称，
由上述这些性质，及x[0，1]时，y=x，
得知f (x)的图像如下：
例10.已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)
⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)所以，f(x)为偶函数⑵令a＝x＋m，b＝m得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]=－f(x＋2m) ＝f(x) 即T＝4m(周期函数)
例11.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，
且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)
①求a100； ②求S100.
解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，
a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0
S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)
例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.
解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2所以f(－1)＝－2又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2即f(x＋1)－f(x)＝x＋2 ①
当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0又f⑴＝1＞0所以f(x)＞0于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，
进一步可得f(－4)＝1
注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2)所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞……＞f(－4)＝1所以x≤－4时，f(x)＞x综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－2
例13.设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且

f(x)+
求证:f(x)是周期函数.
证明：由已知f(x)+
所以
①

(2)
于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，
记这个差为d同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d …… f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1) ＝…… ＝f(x＋1)－f(x)＝d
即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，而对于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0
即f(x＋1)＝f(x) x∈R所以f(x)是周期为1的周期函数.
例14 设 f (x)的定义域为R，其图像关于直线 x＝2 和 x＝0对称，且x[4，6]时， f ( x )＝2 x + 1，那么在区间[－2，0]上，f －1( x )的解析式为
（A）y＝log2(x－4)
（B）y＝4－log2(x－1)
（C）y＝4+log2(x－1)
（D）y＝－log2(x－1)
【解】∵y＝f (x)的图像关于x＝0
对称， ∴ f ( x )＝f (－x)，
∵ y＝f (x)的图像关于x＝2对称，
∴ f (－x)＝f (4+x)．
于是有f ( x )＝f (4+x)
∴ f ( x )是周期为4的函数，
当－2≤x≤0时，
0≤－x≤2且－x + 4∈[4，6]
∵ y＝f (x)的图像关于x＝0对称，
∴ f (x)＝f (－x)．∵ 周期为4，
∴ f (－x)＝f (－x+4)＝2－x+4 +1
即在 [－2，0]上，y＝f (x)＝2－x+4 +1
∴ 2－x+4＝y－1
－x+4＝log2(y－1)
x＝4－log2(y－1)
∴ [－2，0] 上，f (x)＝4－log2(x－1)
应选（B）．
练习.1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.
2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) ,f(0)＝2004，求f(2004)
3.函数f(x) 是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=|x-1|；
当x∈[2k,2k+2]( k∈Z)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。
1.数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.
解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0 S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100
＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)
＝2b－a
2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)
【分析】很明显，g(x)是f －1(x+1)的反函数．只要求出f －1(x+1)的反函数解析式，就得到g ( x )，不难得到g ( 5 )．
f －1(x+1)的反函数不是f (x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来．
【解法2】y＝f (x)和f －1(x)的图像关于x＝y对称，当f －1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子” y＝x另一侧的“像” f (x)沿y轴负方向平移1个单位，于是
f －1(x+1)和f (x)－1互为反函数．
即g (x)＝f (x)－1，下略．
练习．1．已知函数 ，函数y=g(x)

的图像与y=f -1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则
g(11)的值为：

A． B．1 C． D．
2．已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f -1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y= f -1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000)
3.对于任意的 ,函数f(x)表示

x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值. (f(x)min=2)
例16 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2 ， ，an ，共n个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从 a1，a2 ， ，an 推出的a=_______．
（1）0≤m≤2时， ．
当0≤m≤2时， ，
这时，
∴ m＝0，
．
取得最大值时， ，kZ．
（2）－2≤m＜0时， ．
（3）m＜－2 时， ．
【讲解】 已知条件是
x∈[－1，1] 且| f (x)|≤M
像这样在一个区间上的所有各点都
满足的性质，在各特殊点上依然成立．
即 | f (1)|＝|1+a+b|≤M
| f (0)|＝|b|≤M
| f (－1)|＝|1－a+b|≤M
(Ⅰ)【证法1】依题意x∈[－1，1]时， 总有| f (x) |≤M，因此有
| f (1) |＝|1 + a + b| ≤M
2 | f (0)|＝|2b|＝|－2b|≤2M
| f (－1) |＝|1－a + b|≤M
相加得
|1 + a + b| + |－2b| + |1－a + b|≤4M