一、有理数及其运算
1、基本概念的提升
“有理数”——神马东西？
定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式；
、
数轴-长啥样儿呢？
定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线 叫做数轴（number line），它满足以下要求：
（1）方向（通常规定右为正，左为负）；
（2）原点；
（3）单位长度；
【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫数轴】如下图所示：
数轴上的点和实数是一一对应的。
（任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。）
数轴练习题
相反数、绝对值
中文名： 数轴
英文名： number axis
相反数： 只有符号不同 的两个数，其余相同
绝对值： 点到原点的距离
作 用： 比较大小
说明：
一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。
绝对值 ：在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值；用代数式表示：| a | = ? (讨论a为何值)

数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。
相反数、绝对值练习
相反数·例题详解
例2、化简
绝对值的性质
【绝对值具有非负性】
例1、|-5|=___ ; | +5 |=____ ; | -[-(-5)] |=____;
经典例题【B卷题型——代数式求值】
解：
经典例题【B卷题型—含绝对值运算】
解：
【巩固练习】
结合数轴化简代数式【A、B卷】
解：
解：
【巩固练习】
解：
经典例题
解：
解：
巩固练习
解：
例题·零点分段法
解：
例题·零点分段法求值
解：
绝对值的几何意义
|a|的几何意义： 在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；
|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离。
【思路导航】分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”
结论：
【巩固练习】
【竞赛衔接】
解：
【竞赛衔接】
解：
【竞赛衔接】
解：
【竞赛衔接】
解：
利用已有的知识，灵活熟练地运用数的四则运算法则和有关公式，学会巧算的方法。
二、有理数计算学习与提升
分析：这个算式中的分母均是99，分子依次是1到296，而1+296=297，而297恰好是99的3倍，可以看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的两项之和为3×99，并且这样的和只有296/2个。
1、巧用运算律：
例1.计算：1/99+2/99+3/99+···+296/99
解：1/99+2/99+3/99+···+296/99
=（1/99+296/99）+（2/99+259/99）
+···（148/99+149/99）
=3X148
=444
解：设S= 5+8+11++14+17+·····+32
反过来写S=32+29+26+······+5
2S=(5+32)+(8+29)+·······(32+5)
=37X10
=370
所以S=185
例2：5+8+11++14+17+·····+32
2、倒写相加
分析：可利用“倒写相加”的方法来计算上式的和
观察上例我们发现：它的每两个相邻的加数的差相等，一般地，给出一列数a1、a2、a3……an(其中a1称为首项，an称为末项)，如果从第二项开始，后项与前项的差都相等，那么就称这列数a1、a2……an为等差数列，这个差用d来表示。
即d=a2-a1=a3- a2=·······=an-an-1
d叫公差，n为项数
如何来推算等差数列a1、a2……an的和呢？
例2：5+8+11++14+17+·····+32
设S=a1+ a2···+an反过来写，则s= an+an-1+a1
两式相加得：
2S=(a1+ an)+(a2+ an-1)···+(an+ a1)
由于a1+ an=a2+ an-1=···= an+ a1
因为2S=(a1+an)·n
所以S=(a1+an)/2·n
例3. 利用等差数列求和公式计算：
分析：这里a1=1，an=1991，d=3-1=2，n=996
1+3+5+……+1991
解：设S=1+3+32+……+32014 (1)
则3S=3+32+……+32015 (2)
（2）- (1)得：
3S-S=(3+32+···+32015)-(1+3+32+···+32014）
2S=32015-1
所以S=32015-1/2
3、先乘后减
例4：求 1+3+32+……+32014的值。
分析：和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比都是3，如先用3乘以和式两边，然后与原式对应相减，即可得解。
解：原式=(90+900+9000+90000+……+900000)-5
=999990-5
=999985

4、凑数与分拆：
例5. 计算89+899+8999+89999+899999
分析：观察各数的特征：都是由8和9组成，只要将第一个数加上1就凑成90，第二个数加上1就凑成900，……再求和即可。
分析：
证明：

……
分析：算式中的每一项“分拆”成正负两项，利用“正负相消”的方法计算。

解：
人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定了一些运算符号及法则：如加（+）、减（－）、乘（×）、除（÷），这使数学更加简明。
然而，这些符号都是“公认的”，其实，除了四则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的运算，这就是定义新运算。
我们定义的这种新运算，其运算
结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的2倍
的和与3的商。若a=－2，b=3
5、定义新运算
在数学竞赛中，常常会遇到这种题。
解：
解：
解：原式

6、一些运算技巧(——凑整）
例1.计算：
例2. 计算：
解：原式
——整数、分数分离

例3. 计算
解：原式
例4. 计算：
分析：因为

——逆用分配律
——倒数求值
解：原式
——零因式定值
分析：解答时切忌从左至右按顺序运算，因为
解：原式
例5. 计算：
例6. 计算
解：原式

【训练1】 填空题：
。
6
（3）计算：
【训练2】 计算：
【试题答案】

填空（3）题
2. 计算：

解：显然a=1，b=2
解：