第五讲 和差问题
什么是和差问题？
线段图：分析应用题的常用手段。
和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
线段图
第一筐
第二筐
例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，
两筐水果各多少千克？
列式
第一筐
(150-8）÷2
第二筐
？千克
多8千克
150千克
=142÷2
=71（千克）
第二筐：71+8=79（千克）
答：第一筐有水果71千克，第二筐有水果79千克。
第二筐
（150+8）÷2
=158÷2
=79（千克）
第一筐：79-8=71（千克）
第一筐
（150－8）千克
（150＋8）千克
方法总结：
小数＝（和-差）÷2
大数＝（和+差）÷2
大数＝（和-小数）
小数＝和-大数
大数＝小数+差
小数＝大数-差
例2 两个数的和为36，差为22，求大、小两数各是多少？
点拨：直接运用公式
（36＋22）÷2=29……大数
（36－22）÷2=7……小数
答：大数为29 ， 小数为7。
完全解题
小结：和差问题公式：大数＝（和+差）÷2

小数＝（和-差）÷2
练一练：
阿乐家养鸭、鹅共40只，其中鸭比鹅的只数多8只，阿乐家养鸭、鹅各多少只？
（40+8）÷2=24（只）
40— 24= 16（只）
答：阿乐家的鸭有24只。鹅有16只。
例3：阿快在期末考试中，语文和数学的平均分时98分， 数学比语文多4分，语文和数学各得了几分？
分析：此题中已知语文和数学的成绩之差是4分，而成绩之和没有直接给出，但给出了两科的平均成绩是98分，这样的总成绩 ：再用和差问题求出各科的成绩。
98×2＝196（分 ），
解法一、
数学：（98×2+4）÷2＝200÷2＝100（分）
语文：100-4＝96（分）
解法二、
语文：（98×2-4）÷2＝96（分）
数学：96+4＝100（分）
答：语文得了96分，数学得了100分。
可以直接运用公式吗？
练习：亮亮在一次测验中，语文和数学的平均分是93分，数 学比语文多4分，亮亮语文、数学各多少分？
根据“语文和数学的平均分是93分”，可以求出语文和数学的分数和。
完全解题
语文、数学的总分是：93×2＝186
数学的分数是：（186+4）÷2＝95（分）
语文的分数是：（186-4）÷2＝91（分）
答：亮亮的语文是91分，数学是95分。
小结：当题目中没有直接告诉我们两个数的和或差的时候，我们就要利用题目中的已知条件求出和与差，然后再利用解决和差问题的公式解题。
例4：书架上、下两层共存书360本，如果从下层拿出30本放入上层，则两层书同样多，上、下两层各存书多少本？
分析：如果从下层拿出30本放入上层，则两层书同样多，说明下层比上层多 这样两个数量间的差，又知两个数量的和360本，可用和差问题解的题规律解答此题
30×2＝60（本），
解法一
上层：（360-30×2）÷2＝150（本）
下层：360-150＝210（本）
解法二
下层：（360+30×2）÷2＝210（本）
上层：360-210＝150（本）
答：上层存书150本，下层存书210本。
练习： 两筐苹果共重90千克，如果从第一筐中取出6千克放入第二筐后，两筐的重量相等，第一筐苹果原来有多少千克？第二筐苹果原来有多少千克？
这两筐苹果的重量和是多少千克？差是多少千克？
从第一筐中取出6千克放入第二筐后，两筐的重量相等，那是不是第一筐就比第二筐重6千克吗？
画线段图，如果第一筐比第二筐重6千克
从第一筐中拿出6千克放入第二筐后
这时第二筐就比第一筐多了6千克，而不是两筐苹果的重量相等，所以第一筐比第二筐重6千克是不正确的。
帮你分析一下
举例子：就像你有3个苹果，他有1个苹果一样，当你给他1个时你们俩的苹果就一样多了，你给他的1个只是你比他多的2个苹果的一半。这样便找出第一筐比第二筐重6×2＝12千克。
完全解题
第一筐苹果的重量为：（90+6×2）÷2＝51（千克）
第二筐苹果的重量为：51-12＝39（千克）
答：第一筐苹果原来有51千克，第二筐苹果原来有39千克。
总结：一个量减少a, 另一个量增加a,这时，两个量的差就增加了2a.
例5、两个连续奇数的和是100，则这两个奇数中较大的奇数是多少？较小的奇数是多少？
分析：两个连续奇数的和是100，两个连续奇数的差是2，则较小的奇数为（100-2）÷2＝49，较大的奇数为49+2＝51。
由图可的得：
解法一：较小的奇数：（100-2）÷2＝49
较大的奇数： 49+2＝51
解法二：较大的奇数：（100+2）÷2＝51
较小的奇数： 51-2＝49
答：较大的奇数是51，较小的奇数是49.
练习：一个两位数是质数，由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个数是多少？
分析：先求较大数字（8+2）÷2＝5，再求较小数字（8-2）÷2＝3,5和3组成的两位数有53和35，由于题中已知条件中的数是一个质数，所以要求的数是53.
解法一：较大的数字：（8+2）÷2＝5
较小的数字：5-2＝3
符合题意的两位数是53。
解法二：较小的数字：（8-2）÷2＝3
较大的数字：3+2＝5
符合题意得两位数是53。
答：这个数是53。

例4、两筐苹果共100个，从甲筐里拿出5个放入乙筐，则乙筐比甲筐多2个，原来两筐各有多少个苹果？
分析：从甲筐里拿出5个放入乙筐，则乙筐比甲筐多2个，说明甲筐原来比乙筐多5×2-2＝8（个）又知两量之和，所以问题可解。
解：甲：【100+(5×2-2)】÷2＝54（个）
乙：100-54＝46（个）
答：甲筐有54个苹果，乙筐有46个苹果。
练一练：
甲、乙两车间共有124人，如果从甲车间调20人到乙车间后，甲车间还比乙车间多4人，两车间各有多少人？
例4 某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？
与前面问题有什么区别？
1、画3条线段图，帮助理解条件。

2、以最少的第三名为标准，找出标准与875元的关系。
3、列式计算，求出标准。
第三名分得钱数的3倍是：
875－125－375=375元
第三名分得钱数是：
375÷3=125元
第二名分得钱数是：
125＋125=250元
第一名分得钱数是：
250＋250=500元
答： 第一名分得钱数是500元，第二名分得钱数是250元，第三名分得钱数是125元。
完全解题
小结：涉及多个量的和差问题时，往往以最小的数为标准。

练习、把24米长的绳子剪成三段，第一段比第二段短2米，第三段比第二段多4米，三段绳子各长多少米？
分析：以第一段为标准数，第一段比第二段短2米，第三段比第一段长4米，如果第二段少2米就和第一段同样长，如果第三段减少4米，也和第一段同样长了，可用除法求出第一段绳长，进而第二、三段可求。
解：第一段：（24-2-4）÷3＝6（米）
第二段：6+2＝8（米）
第三段：6+4＝10(米)
答：第一段长6米，第二段长8米，第三段长10米。
例7、一个两位数是质数，由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个数是多少？
分析：先求较大数字（8+2）÷2＝5，再求较小数字（8-2）÷2＝3,5和3组成的两位数有53和35，由于题中已知条件中的数是一个质数，所以要求的数是53.
解法一：较大的数字：（8+2）÷2＝5
较小的数字：5-2＝3
符合题意的两位数是53。
解法二：较小的数字：（8-2）÷2＝3
较大的数字：3+2＝5
符合题意得两位数是53。
答：这个数是53。
1、推导和差问题的解题公式：
大数＝（和+差）÷2
小数＝（和-差）÷2
2、转化条件，运用公式。
课堂总结