四年级奥数基础讲练教程
第一讲 加减法的巧算速算
奥数知识 ：在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
【例题1】 计算9+99+999+9999
 
【思路】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
  
【思路】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402

想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.
【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86
  
【思路】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。
【例题4】计算：1.248+（152－127） 2. 324－（124－97）
【思路】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。
1.248+（152－127） 2.324－（124－97）
=248+152－127 =324-124+97
=400－127 =200+97
=273 =297
【例题5】计算下面各题。
（1）286+879－679 （2）812－593+193 
【思路】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。
小结：加减法的巧算速算共5种典型题型

一是减整法

二是选定基数法

三是调换运算顺序法

四是去括号法

五是添括号法
练习：
【练习1】
1.99999+9999+999+99+9 2.9+98+996+9997 
3.1999+2998+396+497 4.198+297+396+495 
5.1998+2997+4995+5994
6.19998+39996+49995+69996.
【练习2】
1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 
3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 
5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【练习3】
1.1208－569－208
2.283+69－183
3.132－85+68
4.2318+625－1318+375
【练习4】
1.348+（252－166）
2.629+（320－129
3. 462－(262－129)
4. 662－(315－238)
5.5623－(623－289)+452－(352－211
6.736+678+2386－(336+278)－186
【练习5】
1.368+1859－859
2.582+393－293
3.632－385+285
4.2756－2748+1748+244
5.612－375+275+（388+286
6.756+1478+346－（256+278）－246
第二讲 乘除法的巧算速算
奥数知识： 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。
【例1】计算325÷25。
【思路】在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。
325÷25
=（325×4）÷（25×4）
=1300÷100
=13
【例2】计算25×125×4×8
【思路】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。
25×125×4×8
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
【例3】计算
（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15
【思路】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）。
利用这一性质，可以使这道题计算简便。
（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15
=360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15
=10+3 =30－5
=13 =25
【例4】计算158×61÷79×3。
【思路】在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置。
158×61÷79×3
=158÷79×61×3
=2×61×3
=366
【例5】计算下面各题。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）
【思路】这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点，采用加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）
=123×（96÷16） =200÷25×4
=123×6 =8×4
=738 =32

小结：乘除法的巧算速算常用3种方法：

一是同时扩大（缩小）除数与被除数倍数凑整

二是调换运算顺序凑整

三是去括号（添括号）
【练习 1】
1.450÷25
2.525÷25
3.3500÷125
4.10000÷625
5.9000÷225
【练习2】
1.125×15×8×4
2.25×
3.25×5×64×125
4.125×25×32
5.75×16
6.125×16
【练习3】计算下面各题。
1．（720+96）÷24
2．（4500－90）÷45
3．8811÷89
4．73÷36+105÷36+146÷36
5．（10000－1000－100－10）÷10
【练习4】
1.238×36÷119×5 2.624×48÷312÷8 
3.138×27÷69×50 4.406×312÷104÷203
【练习5】计算下面各题。
1.612×366÷183
2.1000÷（125÷4）
3.（13×8×5×6）÷（4×5×6）
4.241×345÷678÷345×（678÷241）
第三讲 小数巧算
知识点拨
一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．
例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).
总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．
例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整
常用的思想方法：
1、 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
例题精讲
模块一：分组凑整思想
【例 1】 91.8186.789.6270.490.288.891.5

【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝

【例 3】 计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67
模块二、加补凑整思想
【例 5】
(1) 0.999990.99990.9990.990.9
(2)199.819.971.996
(3)999999999.799.79.7 0.7

【巩固】
（1） 9.996＋29.98＋169.9＋3999.5
（2） 89＋899＋8999＋89999＋899999
模块三、位值原理
【例 7】
924.68724.68524.68324.68 124.68

模块四、基准数思想
【例 8】 计算
0.999990.99990.9990.99 0.9

【巩固】 199.819.971.996
第四讲 体育比赛中的数学问题
一、知识点总结
1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。（通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）
2.双循环赛：每两个队都要比赛一场，有主客场之分。
（每个队和同一个对手交换场地赛两次）
一共比赛场数=（人数-1）×人数
3.淘汰赛：每两个队用一场比赛定胜负，经过若干轮之后，最后决出冠军。 （每场比赛输者打包回家）
二、做题方法

1.点线图

2.列表法

3.极端性分析------根据个人比赛场数，猜个人最高分根据得分，猜“战况”
例题分析
例题1：三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，每个班赛几场？一共要进行多少场比赛？
解析：除了不和自己赛，和其他班都要赛，所以每个班赛4-1=3场。 一共进行的场数：3×4÷2=6场 
练习1：每个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学校参加比赛？ 解析：
方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=28
7+1=8个
方法二：（人数-1）×人数=28×2=56
7×8=56，所以为8人
例题2：20名羽毛球运动员参加单打比赛，淘汰赛，那么冠军一共要比赛多少场？解析：
第一轮：20÷2=10（场），10名胜利者进入下一轮
第二轮：10÷2=5（场）， 5名胜利者进入下一轮
第三轮：5÷2=2（场）....1人，3名胜利者进入下一轮
第四轮：2÷2=1（场） 胜利者和第三轮中剩下的一人进入下一轮比赛
第五轮：2÷2=1（场）
冠军一共参加了5场比赛。
决出冠军一共要比赛的场数：一场比赛淘汰一人，除了冠军不被淘汰：20-1=19场
例题3：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛象棋，单循环比赛，A已经赛了4盘，B已经赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，此时E赛了几盘？

解析：利用点线图
例题4：A,B,C,D,E,五位同学一起比赛乒乓球，单循环比赛，胜者得2分，负者不得分，比赛结果如下：
(1)A与E并列第一 (2)B是第三名 (3)C和D并列第四名
求B得分？
解析：根据个人比赛场数猜最高分
每人比赛4场，全胜得8分，有并列第一，就没有全胜，所以不可能得8分；有并列倒数第一，所以没有全败，没有0分；而每个人得分是个偶数，在0和8之间的偶数只有2,4,6，三个分数，三个名次，所以B得4分
学案5：四名同学单循环比赛，胜者得2分，负者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分别为3分，4分，4分，且丙无平局，甲有胜局，乙有平局，那么丁同学得分？
解析：共比赛场数 3×4÷2=6场
每场比赛两人共得2分，6场比赛共得6×2=12分
所以丁得分12-2-4-4=1分
第五讲 整除
概念复习：
约数：整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。如：4是2的倍数，2是4的约数。
公约数：亦称“公因数”。它是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；如：3是6和9的公约数；30和40，它们的公约数有1，2，5，10。
最大公约数：公约数中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。如30和40，它们的最大公约数是10。
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。称两数互质。
整除的特性：
一、看末位：
能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
二、看数字和：
能被3（9）整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3（9）整除，那么这个数能被3（9）整除。
能被99整除的特征：如果一个数从右向左两位两位和能被99整除，那么这个数能被99整除。
能被999整除的特征：如果一个数从右向三位三位和能被999整除，那么这个数能被999整除。
三、看数段差
能被7（11/13）整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）能被7（11/13）整除，那么这个数能被7（11/13）整除。
当一个多位数中有一个或几个数字用字母表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。例如， 表示这个三位数的百、十、个位依次是3，a，5；
例1：判断下列各数是否能被3整除：2574，38974，587931
例2：六位数 能被3整除，字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。
例3：已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520
例4： 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除：
那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，
所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
　　 如果56□2能被8整除：
那么6□2应能被8整除，
所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
　　 如果56□2能被4整除：
那么□2应能被4整除，
所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
数的整除具有如下性质：
性质1： 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2： 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 ：如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例5：要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？
【发散思维】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互质，所以这个6位数既能被4整除又能被9整除。
再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
【解题步骤】18ABC6能被4整除，则C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。
18ABC6能被9整除，则1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。
要使所得的商最小，就要使18ABC6尽可能小，即ABC尽可能小，因此首先A尽可能小，其次B,最后C尽可能小。
先试取A=0，此六位数之和为15+B+C,欲使B+C尽可能小，而且15+B+C能被9整除，则（B+C）取3，因为B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。则C=3,B=0.当A=0,B=0,C=3时，此六位数能被36整除，而且所得的商最小，为180036÷36=5001。
例6： 五位数 能被72整除，A与B各代表什么数字？
分析与解：已知 能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以 既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要能被8整除，那么末三位数
能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征（各位数字之和能被9整除），即：A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被9整除
　　因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

　　解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。

【巩固练习】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能得小。
解：假设这个数为865ABC，因为能被5整除，所以C为0或5
因为能被4整除，所以末两位BC数能被4整除，当C为0时，B为2、4、6、8；当C为5时，B没有取值，所以，C只能为0；
因为能够被3整除，所以各位数字之和能被3整除，即8+6+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B
当B为2时，19+A+B=21+ A，所以A为0、3、6、9；
当B为4时， 19+A+B=23+ A，所以 A为1、4、7
当B为6时， 19+A+B=25+ A，所以 A为2、5、8
当B为8时，19+A+B=27+ A，所以 A为0、3、6、9
因为要求这个数值尽可能的小，所以A、B、C要尽可能的小，
所以： A=0，B=2，C=0，所以这个数为：865020

例7：要使六位数 能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数
应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要 能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使 这个六位数 尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数 的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使
尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
例8： 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
　根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
　一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减