九年级数学(上)第三章 频率的进一步认识
3.1.用树状图与列表法求概率
第一课时
频率与概率知几何
当试验次数很多时,一个事件发生频率稳定在相应的概率附近. 因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
频率与概率的关系
频率与概率知几何
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生的概率(probability).
必然事件发生的概率为1(或100%),记作P(必然事件)=1;
不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0;
不确定事件发生的概率介于0~1之间, 即 0如果A为不确定事件,那么0概率
请你分别举出例子予以说明.
引入 p 60
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则如下：
问题源于生活
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜，若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜。你认为这个游戏公平吗？
做一做 p 60
问题源于生活
连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”，“两枚反面朝上”，“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三个事件发生的概率相同吗？
先分组进行试验，然后累计各组的实验数据，分别计算这三个事件发生的频数与频率，并由此估计相应的概率？
做一做 p 60
问题源于生活
通过大量的重复试验我们发现：在一般情况下， “一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。所以，这个游戏不公平，对小凡比较有利。
实际上：我们可以用树状图或表格来研究上述问题
开始
第一枚硬币
正
反
第二枚硬币
正
反
正
反
所有可能出现的结果
(正，正)
问题探究
(正，反)
(反，正)
(反，反)
“悟”的功效
从上面的树状图或表格可以看出,一次试验可能出现的结果共有4种:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),而且每种结果出现的可能性相同.也就是说,每种结果出现的 概率都是1/4.
也可以用表格表示概率
正
正
反
(正，正)
(正，反)
反
(反，正)
(反，反)
在上面投掷硬币的实验中。
“悟”的功效
（1），投掷第一枚硬币可能出现哪些结果？他们发生的可能性是否一样？
答：一正一反 一样
（2），投掷第二枚硬币可能出现哪些结果？他们发生的可能性是否一样？
答：一正一反 一样
在上面投掷硬币的实验中。
“悟”的功效
利用树状图或表格,可以比较方便地求出某些事件发生的概率.
（3），在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？他们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
答：一正一反 一样
答：一正一反 一样
行家看“门道”
例1 随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次正面朝上的概率是多少?
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相同,而至少有一次正面朝上的结果有3种:(正,正),(正,反),(反,正),因此至少有一次正面朝上的概率是3/4.
开始
正
反
正
反
正
反
(正,正)
(正,反)
(反,正)
(反,反)
请你用列表的方法解答
（正，正）
（正，反）
（反，正）
（反，反）
第二种方法：列表法
总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。
本节开始的问题解答：P61
总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中
因此这个游戏对三人是不公平的，这个游戏对小凡有利
小明获胜的结果有一种:（正，正），所以小明获胜的概率为1/4.
小颖获胜的结果有一种:（反，反），所以小颖获胜的概率为1/4.
小凡获胜的结果有两种:（正，反），（反，正），所以小凡获胜的概率为2/4.
利用树状图或者表格，我们可以不重复、不遗漏的列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。
随堂练习 P61
小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？
解：用列表的方法可得。
答：总共有四种结果，每种结果出现的可能性相同，因此。恰好是白色上衣和白色裤子的概率是1/4？
习题3.1 P62
1.准备两组相同的牌,每组两张且大小一样,两张牌的牌面数字分别是1和2.从两组牌中各摸出一张牌，称为一次试验.
第一组
第二组
第一组
第二组
问题探究
前面摸牌游戏的一次试验中：
（1）一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值?
（2）两张牌的牌面数字和为几的概率最大?
（3）两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少？
用树状图来研究上述问题
开始
第一张牌的牌面的数字
1
2
第二张牌的牌面的数字
1
2
1
2
所有可能出现的结果
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2,2)
问题探究
从上面的树状图或表格可以看出：
（1）在摸牌游戏中,一次试验可能出现的结果共有4种：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),
（2）每种结果出现的可能性相同.也就是说,每种结果出现的概率都是1/4.
（3）两张牌面数字之和是2、3、4的概率分别是1/4、1/2、1/4
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
用表格来研究上述问题
理性的结论源于实践操作
2.一个盒子中有一个红球，一个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求：
（1）两次都摸到红球的概率；
（2）两次摸到不同颜色的球的概率。
习题3.1P62
2.用树状图来研究上述问题
开始
第一次
红
白
第二次
红
白
红
白
所有可能出现的结果
(红，红)
问题探究
(红，白)
(白，红)
(白，白)
答：（1）两次都摸到红球的概率是1/4；
（2）两次摸到不同颜色的球的概率是2/4或者1/2。
第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
（第二课时）
第二课时
小明、小颖和小凡做“石头、剪子、布”的游戏。游戏规则如下：有小明和小颖做“石头、剪子、布”的游戏如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者。
用树状图或表格求概率 P62
温故知新
上节课，你学会了用什么方法求某个事件发生的概率
树状图和列表法
问题提出
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：
由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.

假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而两人手势相同的结果有三种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)，所以小凡获胜的概率为
小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为
小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为
所以，这个游戏对三人是公平的.
你能用列表的方法求出来吗？
用树状图或表格求概率 P62
答：用列表的方法如下.
做一做 P63
小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下：每人从1,2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数？
解：经分析可得，掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就大.利用列表法列出所有可能出现的结果：
从表格中，能看出和为7出现的次数最多，所以选择7，概率最大！
有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率
随堂练习 P64
解：可利用列表法列举出所有可能出现的结果：
从中发现，这两张恰好能拼成原来的一幅画
的概率
布置作业
习题3.2 1.2.3
1.准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1,2,3,从每组牌中各摸出一张牌。
习题讲解 P64
（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？
（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是多少？
（3）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是多少？
问题深入
准备两组相同的牌,每组三张且大小一样,三张牌面的数字分别是1、2、3.从两组牌中各摸出一张。
总共有9种可能出现的结果：和为2的有1种，和为3的有2种，和为4的有3种，和为5的有2种，和为6的有1种，各自的概率为 ？
开始
第一张牌的牌面的数字
1
3
第二张牌的牌面的数字
1
3
2
3
所有可能
出现的结果
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
2
2
1
1
3
2
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(2,2)
树
状
图
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
3
3
(1,3)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
表
格
由上可得：
习题讲解 P64
（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率是0.
（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率是1/9.
（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大.
（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是2/3.
2.经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐，假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，求下列事件的概率。
习题讲解 P64
（1）两人都左拐；
（2）恰好有一人直行，另一人左拐；
（3）至少有一人直行。
答：（1）1/9;（2）2/9;（3）5/9.
3.掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率。
习题讲解 P64
（1）至少有一枚骰子的点数为1；
（2）两枚骰子的点数和为奇数；
（3）两枚骰子的点数和大于9；
答：共有36种结果。（1）11/36，其余略。
（4）第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数。
4.小明何小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子。
习题讲解 P64
（1）若两人掷得的点数之和为奇数，则小军获胜，否则小明获胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？；
答：共有36种结果。和为奇数的有18种，两人获胜的概率都是1/2,因此，公平。
4.小明何小军做掷骰子游戏，两人各掷一枚质地均匀的骰子。
习题讲解 P64
答：共有36种结果。积为奇数的有9种，小军获胜的概率都是1/4,因此，不公平。
（2）若两人掷得的点数之积为奇数，则小军获胜，否则小明获胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？；
5.如图，小明和小红正在玩一个游戏：每人先抛掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中 的相应物品。现在轮到小明掷，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得“汽车”吗?小红下一次抛掷可能得到”汽车”吗?她下一次得到”汽车”的概率是多少?
解：小明的现在第1格，距离“汽车”还有7格，而骰子最大的数字为6，因此，小明不可能一次就得到“汽车”。只要小明和小红两人抛掷的骰子点数和为7，小红即可得到“汽车”，因此小红下一次抛掷可能得到“汽车”。
在玩中学数学,用数学习题3.2P65
灵活多样,玩出花样,玩出水平,玩出能力
5.续上解：所有可能的结果
.
在玩中学数学,用数学习题3.2P65
因此：所有可能的结果有36种，点数和为7的有6种，小红下一次得到“汽车”的概率为6/36,即1/6.
习题3.2 P65
6.在本节课“石头、剪刀、布”的游戏中，小凡没有参与活动，有“任人宰割”的感觉，于是他们修改游戏规则如下：三人同时做“石头、剪刀、布”游戏，如果三人的手势都相同或三人的手势互不相同，那么三人不分胜负，如果有两人的手势相同，那么按照 “石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定胜负（有可能有两个胜者）。这个游戏对三人公平吗？先算一算，再做一做。
习题3.2 P65
答：共有27种结果，三人手势都相同或互不相同的有：3+6=9，不分胜负的概率为1/3；赢的概率为1/3，输的概率是1/3。公平。
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3.1.用树状图或表格求概率

第三课时
“配紫色”游戏
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.
用树状图或表格来求概率
回顾与思考
“配紫色”游戏
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.
游戏规则是:游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少?
新内容！
树状图可以是:
“配紫色”游戏
开始
红
白
黄
蓝
绿
(红,黄)
(红,蓝)
(红,绿)
(白,黄)
(白,蓝)
(白,绿)
黄
蓝
绿
游戏者获胜的概率是1/6.
表格可以是：
“配紫色”游戏
游戏者获胜的概率是1/6.
黄
蓝
绿
红
(红,黄)
(红,蓝)
(红,绿)
白
(白,黄)
(白,蓝)
(白,绿)
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.
小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的 概率是1/2.
“配紫色”游戏的变异
对此你有什么评论？
想一想
“配紫色”游戏的变异
小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”,“红色2”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是1/2.
你认为谁做的对?说说你的理由.
想一想
由“配紫色”游戏的变异想到的
小颖的做法不正确.因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同,因而指针落在这两个区域的可能性不同.
小亮的做法是解决这类问题的一种常用方法.
小颖
小亮
用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?
用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.
议一议
例2： P67
一个盒子中装有两个红球，两个白球和一个篮球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率。
解：先将两个红球分别记作“红1，红2”，两个白球分别记作“白1，白2”列表如下:
总共有25种结果，每种结果出现的可能性相同，能配成紫色的有四种，因此能配成紫色的概率是4/25.
随堂练习 P67
用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的三个扇形，配成紫色的概率是多少？
解：如下图，共有9种等可能的结果，能配成紫色的有2种，因此配成紫色的概率是2/9.
习题3.3 第1题。
1.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是多少？
解：列表如下，因此配得紫色的概率是5/9.
第2-3题略
习题3.3 第四题。
设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是三分之一.
归纳总结，画龙点睛
1、本节课你有哪些收获？有何感想？

2、用列表法求概率时应注意什么情况？
我有哪些收获？
用列表法求随机事件发生的理论概率
（也可借用树状图分析）
学会了
明白了
用列表法求概率时应注意各种情况发生的可
能性务必相同
懂得了
合作交流的重要性
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.