没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5　
(2)3x＋2　
(3)5x＋3＝18
(4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1次的整式方程叫一元一次方程。
一元
一次
问题1 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m，宽为5m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽?
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
(6+x)2+72=102，
?
1m
6m
xm
问题3 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册。求这两年的年平均增长率。
去年底：5
今年底：5+5x＝5(1+x)
明年底：5(1＋x)＋5(1＋x)x
＝5(1＋x)(1＋x)
＝5 (1＋x)2
解：设这两年的年平均增长率为x,
根据题意得方程：5(1＋x)2＝7.2
整理,得：
特征: (1) 都是整式方程
　　 (2) 只含有一个未知数
　 　(3) 未知数的最高次数是2
观察这几个方程，有什么共同特征？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
(1)都是整式方程
(2)只含有一个未知数
(3)未知数的最高次数是2
判定条件：
概念：
ax2+bx+c=0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0（a≠0)
问：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0会出现什么情况？b、c能不能为0？能不能同时为0？
一元二次方程一般形式：
不是
是
不是
不是
判断下列方程中哪些是一元二次方程？并说明理由
是
是
不是
不是
2
1
-3
3
0
-5
1
-3
0
1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2-x-2=0
2x2-7x+3=0
x2-5x =0
2x2-5x-11=0
温馨提示：某一项的系数包括它前面的符号。
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解：移项：ax2 -2bx+a-2x2 =0
合并同类项：(a-2)x2-2bx+a=0
所以，当a≠2时是一元二次方程；
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、 关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
3
-1
什么叫方程的根？
能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。
解：把x=2代入原方程得：
(m-1)×22+3×2-5m+4=0
解这个方程得：m=6
4、已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
变式练习: a是方程x2 -2x-3＝0 的一个根, 则3a2-6a= .
9
化为一般形式 2x2 –13x+11=0
根据实际情况确定x大致的取值范围。
x可能大于4吗？
x可能大于2.5吗？
不可能等于0,没有实际意义
x可能小于0吗？
那么x的范围是 0＜x＜2.5
解：设花边的宽为xm，根据题意得，
5cm
8cm
x
8-2x
5-2x
问题1中：
（8-2x)(5-2x)=18
用估计的方法求一元二次方程的近似根。
有些实际问题在解决的时候，可根据实际情况情况确定大概的取值范围，因此我们可用逼近的方法求近似根。
在x范围内取整数值,分别代入方程，如果有一个数能够使方程的左边等于0,则这个数就是方程的一个解. 2x2 –13x+11=0 ( 0 ≤x≤2.5 )
11
0
-7
当x=1时，2x2 –13x+11=0 ，所以方程的解为x=1
若在x许可的范围内取整数值，没有一 个数能够使方程的左边等于0怎么办？
列表
问题2中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102， 即 x2+12x-15=0
问:你能猜出梯子底端滑动的距离x(m)的大致范围吗？
所以，1进一步计算：
所以x的整数部分是1，十分位是1
x的整数部分是几？十分位是几？
小试牛刀：
1.由方程ax2+bx+c=0(a≠0)可得下表，则x的取值范围大约是( )
A.5.23从上表中你能得出方程5x2 -24x+28的根是几吗？如果能，写出方程的根，如果不能，请写出方程根的取值范围
B
1、一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，设宽为x厘米。
解(1)设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米.
x(15 -x)=54
(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。
(2)x可能小于0吗？说出理由.
(3)x可能大于15吗？说出理由.
(4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
40
28
18
10
4
0
-2
当x=6时， x2 -15x+54=0
(4）如何估算长方形的长x?
化简x2 -15x+54=0
根据题意x的范围是 0答:长方形的宽为6厘米
列表
2、有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个数字的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,
则个位数字是(6-x)
x(6-x)= 1/3(10x+6-x)
化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6
0
0
2
6
12
20
当x =1 或 x=2时，x2 -3x+2=0
当x =1 时这个两位数是15
当x =2时这个两位数是24
列表
3、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常的情况下,运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误,假设运动员起跳后的运动时间t(s)为和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2 , 那么他最多有多长的时间完成规定的动作?
解:要完成规定动作最多的时间是h=5时
即: 5=10+2.5t-5t2
化为一般形式2t2 -t-2= 0
-2
-1
4
13
列表
所以1< t< 2
列表
-0.68
-0.32
0.08
0.52
所以1.2< t< 1.3
答:他完成动作的时间最多不超过1.3秒
解：设长方形绿地的宽为x米，则长为（x＋10）米，可得方程：
1、设未知数
长×宽＝面积
x（x＋10）=900，
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
2、找相等关系
3、列方程
4、解方程
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数∣m∣+1＝2，
解之得，m=1或m=－1，
又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1，
所以m=1。
温馨提示：注意陷井
二次项系数a≠0！
5、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。
知识点二：一元二次方程解的估算
问题2 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？