1.3
线段的垂直平分线(1)
本节课我们学习什么？
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用定理解决几何问题。2.用尺规作线段的垂直平分线。
等腰三角形顶角平分线有哪些性质？
垂直底边，并且平分底边
AD所在的直线即线段AB的垂直平分线
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
用心想一想，马到成功
C
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
你能证明吗？
性质定理:线段垂直平分线上的点 到这条线段 的两端点的距离相等
温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
图形语言

如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？
用心想一想，马到成功
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。
性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB。
求证：P点在AB的垂直平分线上。
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)。
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上。
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法二：
取AB的中点C，过点P,C作直线PC
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
C
发散思维，一题多解
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证法三：
过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180 °
∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
发散思维，一题多解
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
判定定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
图形语言
做一做：用尺规作线段的垂直平分线.
作法：1.分别以点A和B为圆心,以大于 1/2AB的长为半径作弧,两弧交于点C和D。
2. 作直线CD。
则直线CD就是线段AB的垂直平分线。
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流。
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线。
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0.
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
7
60
2.已知直线和直线上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过点P.
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
3．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD
A
B
C
D
P
P点即所求作的点
4.已知：如图AB=AC，BD=CD，
P是AD上一点，
求证：PB=PC
本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，认真写出过程哦！
1.性质定理 ：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。
2.判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.用尺规作线段的垂直平分线。
回顾一下吧，本节课你学到了什么？
Thank you!