回顾与思考
第三章 三角形
北师大版数学 七年级下册
2.认识三角形的边、内角、顶点。
一、 认识三角形
1.了解三角形定义:
（1）边上的性质：
三角形的任意两边之和大于第三边
三角形的任意两边之差小于第三边
（2）角上的性质：
三角形三内角和等于180度
二、三角形的性质
直角三角形的两个锐角和等于90度
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”)
① 3，4，5（ ） ② 8，7，15（ ）
③ 13，12，20（ ） ④5，5，11（ ）
不能
不能
能
能
直角三角形
钝角三角形
2、根据下列条件判断它们是什么三角形？
（1）三个内角的度数是1:2:3（ ）
（2）两个内角是50°和30° （ ）
练一练：
3、△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 ＜AC＜ ___
4
14
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为
奇数，那么第三边长是 ______
7 或 9
5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，
这个三角形的周长是 _________
（第6题） （第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
则∠B= 度，∠C= 度
17cm
100
50
60
x
3x
5x
1、如图，求△ABC各内角的度数。
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个内角的度数。
解：3x + 2x + x = 180
6x=180 X=30
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
解：设三个内角分别为x，3x，5x
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°,100°
2x
3x
x
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
∠B=
9.在△ABC中，如果∠A=
∠C
∠B = 3
10.在△ABC中，如果∠A = 2
∠C
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
B
A
8.在△ABC中，如果∠A＋∠B＝ 2∠C，∠A≠∠B，
那么（　　）
A、∠A＝600 B、∠B＝600， C、∠C＝600
D、∠A、∠B、∠C都不等于600
C
1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念
三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念
BE=EC
线段AE是三角形BC边上的中线.
∠1=∠2
线段AD是三角形∠BAC的角平分线.
线段AD是BC边上的高.
∠ADB=∠ADC =90°
直线DE是BC边上的中垂线.
∠DEB=∠DEC =90°
且 BE=EC
连接DC
DB=DC(中垂线的性质）
D
四、三角形三线的性质
1.三角形的三条中线交于一点.（三角形内部）
2.三角形的三条角平分线交于一点. （三角形内部）
3.三角形的三条高所在直线交于一点
①锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部）
②直角三角形的三条高交于直角顶点.
③钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）
1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________.
2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度.
练一练:
10.5
90
邻补角的角平分线的夹角为90度。
4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700,
求∠ACE，∠BDC的度数。
400
800
A
B
C
E
D
F
3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。
30
三角形中线的性质：
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形
如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，
则有
△ABD的面积=△ACD的面积
如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
五、三角形全等的判定方法
（1）全等三角形的定义
（2）边边边公理（SSS）
（3）边角边公理（SAS）
三边对应相等的两个三角形全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
能够完全重合的两个三角形是全等三角形
（4）角边角公理（ASA）
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（5）角角边公理（AAS）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，
两个三角形不一定全等
ASS
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
AAA
不能把“AAS”、“ASA”简述为
“两角和一边对应相等的两个三角形全等”？
在△ADE和△ABC中
但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时,
特别注意边和角“位置上对应相等” 。
判断两个三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS

4．三角形全等的条件思路：
当两三角形已具备两角对应相等时，第三条件应找
。
当两三角形已具备两边对应相等时，第三条件应找
。
当两三角形已具备一角一边对应相等时，第三条件应找
。
5．找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有：
。
如图,已知AC平分∠BCD,
要说明△ABC≌△ADC,
还需要增加一个什么条件?请说明理由。
D
C
A
B
或∠BAC=∠DAC
BC=CD
或∠B=∠D
1、如图AD=BC，要判定△ABC≌△CDA，
还需要的条件是 　　 .
基础训练
AB=CD
或∠DAC＝∠BCA
B
A
F
C
D
E
2、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,
说明∠EFD=∠BCA的理由。
1.如图，已知AB=CD，AD=BC，
问∠B=∠D吗？请说明理由。
2. 如图， ∠ A= ∠ D, ∠ ACB= ∠ DBC 问AB=DC吗？试说明理由。
3.已知 △ABC 和 △AED 中, ∠B =∠E ,AB=AE
试说明△ABC ≌ △AED
5.如图,O是AB的中点， O是CD的中点，试说明：AC∥BD
6.如图,AC ∥DE, ∠ B= ∠F,BD=CF,
试说明AB=EF
A
C
B
O
D
3、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，
AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
思考题：
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：
∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中
（HL）
BC=B´C´
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS
(5)： ；
HL
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ ( HL )
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) ________,AC=DF ( AAS )
B
C
A
E
F
D
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
∠B=∠E
快问快答
2.如图，∠ACB =∠ADB=90，要使△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应
的括号内填写出判定它们全等的理由。

（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
综合练测
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
。
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
我能行！
解：BC=BD
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
练一练
1、图中三角形的个数是（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
E
A
当增加n条线的时候，有多少个三角形？
拓展练习
2、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交于点O，则图中必定全等的三角形有（ ）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 6对
C
3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度
B
C
D
A
G
M
H
E
F
360
4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 .
5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
6或10
解： △ABC和△ADE全等。　　　　∵∠1＝∠2（已知）　　　　　　　　　∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC　　　　　即∠BAC＝∠DAE　 在△ABC和△ADC 中
A
B
C
D
E
1
2
2.如图，已知∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和△ADE全等吗？为什么？
∴ △ABC≌△ADE
（AAS）
4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E， AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？
说说你的理由
如图线段AB是一个池塘的长,现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。
B
A
8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由.
你们可要好好动动
脑哟！
这是一种什么图形
变换？
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。
AC=DC 
∠ACB=∠DCE
BC=EC
△ACB≌△DCE(SAS)
AB=DE
E
C
B
A
D
解：