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能量守恒定律
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1.功和功率
功是描写力对空间积累作用的物理量。
位移无限小时：
dA称为元功
恒力所作的功等于力在质点位移方向上的分量与质点位移大小的乘积，或者说等于力与位移的点乘。
单位：J 量纲：ML2T－2
元功——质点发生微小的位移过程中，力所作的功
1)恒力的功
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3.作功与参照系有关。
例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。
1.功是标量，只有大小正负之分。
2.多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。
明确几点：
4.功是过程量，与路径有关。
4
在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。力的大小和方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？
解决方法：
a
b
1.无限分割路径；
2.以直线段代替曲线段；
3.以恒力的功代替变力的功；
2)变力的功
4.将各段作功代数求和；
在直角坐标系中功的解析式：
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3)力矩的功
刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。
说明：力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。
——力矩功
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强调：内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。
任一对内力大小相等、方向相反且作用在同一直线上，这一对内力对转轴的力矩的代数和为零，这一对内力矩的总功也必为零。定轴转动刚体上所有内力矩的总功也必为零。
4)功率
定义：力（力矩）在单位时间内所作的功
表征作功快慢的物理量。
功率单位：A或Js-1 量纲：ML2T－3
功率一定时，转动力矩与角速度成反比。
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5)一对作用力与反作用力的功
这一对相互作用力作功之和为：
同理：
一对相互作用力的总功等于其中一个质点受的力点乘其相对另一个质点的位移。由于一对力的功只取决于两质点间的相对位移，因而与参照系的选择无关。
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我们可以选择最方便的参照系来计算一对相互作用力的作功之和：认为一个质点静止而以它所在的位置为坐标原点，再计算另一质点在此坐标系中运动时它所受的力所作的功。
解：（一维运动可以用标量）
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2.动能定理
1)质点的动能定理
在计算变力的功时，必须知道力随位移的函数关系，但在有些情况下力的变化比较复杂，难于找出这种固定的函数关系，使变力功的计算变得复杂。但是力对物体作功，改变了物体的运动状态，那么作功和物体状态变化有什么关系？
作用在质点上的合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
质点的动能定理为：
是描写物体运动状态的物理量。称为动能
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1.动能是描写物体状态的物理量，物体状态的改变是靠作功实现的。
明确几点：
2.功是过程量，动能是状态量，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求始末两态的动能变化，即求出该过程的功。
3.A为合外力作功的代数和，不是合外力中某一个力的功。
4.如果 Ek >Ek0, WA>0 ,外力对物体做正功；
如果 Ek 11
例、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图
注意：摩擦力作负功！
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(2)对链条应用动能定理：
前已得出：
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2)质点系的动能定理
研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和，从而得到质点系所遵循的规律。
对所有质点求和：
对其中第i个质点，动能定理可写为：
Ai是作用在第i个质点上的所有力对质点i所作的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作用力—外力的功Ai外，又包括质点系内其它质点所施的作用力—内力的功Ai内。
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为质点系的动能，
——质点系的动能定理
外力作功与内力作功的代数和，等于质点系总动能的增量。
令
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。但是由于质点系内各质点间可以有相对位移，内力的功不一定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。
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3)刚体定轴转动的动能定理
刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态。
刚体上所有质元的动能之和为：
——刚体定轴转动的动能
刚体定轴转动时，力矩的功和动能的关系？
1
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合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功的代数和等于刚体的转动动能的增量。
------定轴转动的动能定理
即：
b、EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。
说明：
a、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。
c、动能定理也只适用于惯性系。
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例题 一长为l ，质量为m的均匀细长杆O A ，可绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点A过最低点时的速率为v0，杆对通过端点O而垂直于杆长的轴的转动惯量 I=ml2/3 ，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时A点升高的最大高度。
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1.保守力
1)重力的功
如果一对作用力作功之和与路径无关，只与质点的始末位置有关，这种力称为保守力。作功与路径有关的力为非保守力。
在一个闭合路径上，一对相互作用的保守力作功之和为零。
考虑由物体和地球组成的重力系统。
以地球 参照系，取离地面某一高度的参考平面为h坐标和原点，h轴向上。
物体由a点沿任意路径运动到b点。
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重力作功为：
重力作功与路径无关，只与始末位置有关,重力是保守力。
2)弹性力的功
ha和hb分别是物体的始末位置相对于参考平面的高度。
考虑由轻质弹簧和物体组成的弹性系统。
以弹簧的A端为参照系，取弹簧的自然长度处为x坐标的原点o。
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当弹簧的形变为x时，根据胡克定律，有：
可知，弹力作功与路径无关，只与始末两态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。
物体从a点运动到b点时，弹性力对物体所作的功为：
xa和xb分别是物体的始末位置，实际上也就表明了物体与A端之间分别在初态和末态时的相对位置。
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任意两个物体M和m之间有相互作用的万有引力。
3)万有引力的功
m受M的万有引力为：
当m由a点沿任意路径运动到b点时，万有引力对m所作的功为：
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可知，万有引力作功与路径无关，只与始末两态的位置有关，万有引力为保守力。
重力的功：
弹力的功：
万有引力的功：
通式：
E(ra)和E(rb)分别是函数E(r)在系统始末状态时的值。
函数E(r)由系统内各物体间的相对位置所决定，我们称它为系统的势函数，它的形式随保守力而异：
2.势能
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重力的势函数：
弹力的势函数：
万有引力的势函数：
功是能量变化的一种量度，所以系统的势函数也是表征了系统的一种能量，这种能量仅由系统内各物体之间的相互作用和相对位置所决定。这种能量称为系统的势能。用Ep表示。
重力势能：
弹性势能：
万有引力势能：
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强调：由于势能的表达式中含有任意常数c，所以当系统处于任一确定的状态时，势能的值都不是唯一的。
要确定质点系在任一给定位置时的势能值，就必须选择某一位置作为参考点，而规定些参考位置的势能为零。通常把这一参考位置就叫做势能零点。规定势能零点之后，势能的值才是确定的。
对于弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态（x=o）时为势能零点。
对于重力势能，通常规定某一参考平面（h=0）为势能零点。
对于万有引力势能，通常规定两物体相距无限远时为势能零点。
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1.势能：是由于物体的位置（或状态）的变化而具有的能量。
2.引入势能条件：
说明：
3.势能是系统的，如说物体的势能不切确。
4.对于不同的势能零点，系统在某同一位置的势能值是不同的。但根据A= -[E(rb)-E(ra)]可知，某两个位置的势能差是一定的，与势能零点的选择无关。
6.势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。
5. 由A= -[E(rb)-E(ra)]=-ΔEP可知，当系统状态变化时，保守力所作的功等于相应势能增量的负值，或者说等于相应势能的减少。这就是势能与保守力的关系。
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如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它，你可能要离它远些，因为它对你的生命安全造成威胁。
如果一块石头放在地面你对它并不关心。
令：Epb=0，即令b点为势能零点，则：
物体在某一位置a时系统的势能，等于把物体从这一位置沿任意路径移到势能零点b时保守力所作的功。
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1.质点系的功能原理
利用质点系的动能定理：
系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
保守力作功等于势能增量的负值
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外力与非保守内力作功之和，等于系统机械能的增量。
功能原理
（机械能原理）
注意：
1.注意与动能定理的区别：动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，它只须计算保守内力之外的其它力的功。
2. 功能定理也只适用于惯性系。
定义机械能为物体系的动能与势能之和。
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由质点系的功能原理
对于一个系统，当合外力的功与内部非保守力的功都为0时，系统的机械能守恒。
即
2.机械能守恒定律
机械能守恒定律
注意：
1.机械能守恒定律的条件是：A外=0且A非保内=0，不是A外+A非保内=0。
2.只有保守力作功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。
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质点系的机械能和机械能守恒定律也适用于包含有定轴转动刚体的系统。
机械能守恒定律只是普遍的能量转化和守恒定律的特殊形式。各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，只能从一种形式转换成另一种形式，这一结论叫做能量守恒定律。
应用机械能守恒定律解题的思路和方法：明确物理过程后，首先确定研究对象，研究对象必须是质点系；然后进行受力分析，只分析外力和非保守内力，判断它们作功是否为零；若满足机械能守恒条件，则用机械能守恒定律，否则只能运用功能原理；最后规定势能零点，写出初末状态的机械能，列出方程，求解。
注意质点与定轴转动刚体的碰撞问题。
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例、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。
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令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。由角动量守恒，有
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
二式联立解得：
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为
而杆的质心达到的高度满足
由此得
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相对论质量：
质速关系
相对论动量：
m0为静止质量。
在相对论力学中仍用动量变化率定义质点受到的作用力，即：
注意：质量随速度变化
牛顿力学
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1.相对论动能
牛顿力学中：
平动动能:
转动动能:
仍用力对粒子做功计算粒子动能的增量，并用EK表示粒子速率为v时的动能，则有
相对论力学：
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即：
即：
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m为相对论质量，m0为静止质量。
相对论的动能公式：
又回到了牛顿力学的动能公式。
当v<37
根据
可以得到粒子速率由动能表示的关系为：
表明：当粒子的动能由于力对其做功而增大时，速率也增大。但速率的极限是c ，按照牛顿定律，动能增大时，速率可以无限增大。实际上是不可能的。
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2相对论能量.质能关系
静止能量
动能
总能量
为粒子以速率v运动时的总能量
动能
结论：一定的质量相应于一定的能量，二者的数值只相差一个恒定的因子c2 。
为相对论的质能关系式
为粒子静止时所具有的能量
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按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过程中，最一般的能量守恒应表示为：
表示质量守恒
历史上：
能量守恒
质量守恒
独立
相对论中：
统一
放射性蜕变、原子核反应的证明。
物体在静止时仍有数量极大的能量，能量并不短缺，短缺的是使物体释放能量的技术。
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核反应中：
反应前：
反应后：
静质量 m01 总动能EK1
静质量 m02 总动能EK2
能量守恒：
因此：
核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损。
总动能增量
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据能量守恒：
即：
可见:
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例：把电子从v1 =0.9c 加速到 v2=0.97c 时电子的质量增加多少？
解： v1 时的电子能量为
v2 时的电子能量为
能量增量
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3.相对论能量与动量关系
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由上式得：
即相对论的动量能量关系式
以E、Pc、m0c2表示三角形的三边，可构成直角三角形。
动能为EK的粒子：
回到了牛顿力学。