数学必修三总复习
第一章 算法初步
算法知识结构：
基本概念
算法
基本结构
表示方法
应用
自然语言
程序框图
基本算法语句
顺序结构
条件结构
循环结构
辗转相除法和更相减损数
秦九韶算法
进位制
赋值语句
条件语句
循环语句
输入、输出语句
算法的定义：
通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
算法最重要的特征：
1.有序性 2.确定性 3.有限性
算法的基本特点
1、有限性
一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束。
2、确定性
算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的，既不能含糊其词，也不能有二义性。
3、有序性
算法中的每一个步骤都是有顺序的,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步后,才能执行后一步,有着很强逻辑性的步骤序列。
用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形称为程序框图，它使算法步骤显得直观、清晰、简明.
终端框 (起止框)
输入、输出框
处理框 (执行框)
判断框
流程线
连接点
二、程序框图
程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
二、程序框图
1、顺序结构
2、条件结构
3、循环结构
先做后判，否去循环
先判后做，是去循环
二、程序框图
1、顺序结构
设计一算法,求和1+2+3+ … +100，
并画出程序框图。
二、程序框图
2、条件结构
算法：
第一步：输入x;
第二步：如果x≥0；则输出x；否则输出－x。
设计一个算法，求数x的绝对值，并画出程序框图。
二、程序框图
3、循环结构
直到型循环结构 当型循环结构
A
D
设计一个计算1+2+3+……+100的值的算法，并画出程序框图。
算法：
第一步：令i=1,s=0;
第二步：s=s+i
第三步：i=i+1；
第四步： 直到i＞100时,输出S，
结束算法，否则返回第二步。
程序框图如下：
循环结构
直到型循环结构
设计一个计算1+2+3+……+100的值的算法，并画出程序框图。
算法：
第一步：令i=1,s=0;
第二步：若i<=100成立，则执行第三步；否则，输出s，结束算法；
第三步：s=s+i；
第四步：i=i+1,返回第二步。
当型循环结构
程序框图如下：
INPUT “提示内容”;变量
PRINT “提示内容”;表达式
变量＝表达式
可对程序中
的变量赋值
可输出表达式的值，计算
可对程序中的变量赋值，计算
（1）提示内容和它后面 的“；”可以省略
（2）一个语句可以给多个变
量赋值，中间用“，”分隔
（3）无计算功能
（1）表达式可以是变量，
计算公式，或系统信息
（2）一个语句可以输入多
个表达式，中间用“，”分隔
（3）有计算功能
（1）“=”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量
（2）一个语句只能给一个变量赋
（3）有计算功能
三．五种基本算法语句
（4）条件语句
IF-THEN-ELSE格式
IF-THEN格式
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
IF 条件 THEN
语句
END IF
（5）循环语句
①WHILE语句
②UNTIL语句
WHILE 条件
循环体
WEND
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
While（当型）循环
Until（直到型）循环
两种循环结构有什么差别？
先执行循环体，然后再检查条件是否成立，如果不成立就重复执行循环体，直到条件成立退出循环。
先判断指定的条件是否为真，若条件为真，执行循环条件，条件为假时退出循环。
先执行 后判断
先判断 后执行
编写程序,求和1+2+3+ … +n。
INPUT n
PRINT “S=” ; S
程序语句：
输入语句
赋值语句
输出语句
顺序结构：
END
变量=表达式
练：编写一程序，求实数X的绝对值。
条件结构：
IF X>=0 THEN
PRINT X
ELSE
PRINT -X
END IF
程序:
INPUT X
END
条件语句：
i=1
S=0
WHILE i<=100
S=S+i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
当型循环语句
当型循环语句
练：设计一算法,求和1+2+3+ … +100。
WHILE
条件
循环体
WEND
程序框图：
程序语句：
当型循环结构
i=1
S=0
DO
S=S+i
i=i+1
LOOP UNTIL i>100
PRINT S
END
开始
结束
输出S
直到型循环语句
直到型循环语句
否
是
DO

循环体

LOOP UNTIL 条件
直到型循环结构
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
(1)、算法步骤：
第一步：输入两个正整数
m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余
数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大
公约数等于m；否则
转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
以求8251和6105的最大公约数的过程为例
步骤：
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
更相减损术
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
（1）、《九章算术》中的更相减损术：
1、背景介绍：
（2）、现代数学中的更相减损术：
2、定义：
所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
3、方法：
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
《数书九章》——秦九韶算法
对该多项式按下面的方式进行改写：
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
秦九韶算法的特点：
在秦九韶算法中反复执行的步骤，可用循环结构来实现。
例:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
2 -5 -4 3 -6 7
x=5
10
5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
原多项式的系数
多项式的值.
例.用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解法二:列表
2
一、进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.
基数：
二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制等
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字
十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
十进制：
例如133.59，它可用一个多项式来表示：
133.59=1*102+3*101+3*100 +5*10-1+9*10-2
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.
例如十进制的133.59，写成133.59(10)
七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)
二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51．
把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例、 把89化为二进制数
解：
根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
＝ 2× (2×22＋0)+1
＝ 2×( 2×( 2×11＋0)+0)+1
＝ 2× (2× (2× (2× 5＋1)+0)+0)+1
5＝ 2× 2＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1
＝ 2× (2× (2× (2× (2× 2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
十进制转换为二进制
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：
89=1011001（2）
另解（除2取余法的另一直观写法）：
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
44
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
例：把89化为五进制数。
解：
根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）
除k取余法：十进制数转化为k进制数的方法
用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。
考题剖析

。
［点评］本小题考查程序框图中的循环结构，主要是根据框图，找到规律。
考题剖析

。
［点评］本题考查条件结构的程
序框图，求解时，对字母比较难理解，
可以取一些特殊的数值，代进去，方
便理解。
解:由程序框图可知第一个判断框
作用是比较x与b的大小,故第二个
判断框的作用应该是比较x与c的
大小。故选（A）
（2010安徽理数）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值
________。
【解析】
程序运行如下:
输出12
．
例、如图给出了一个算法流程图，该算法流程
图的功能是（ ）
A.求a，b，c三数的最大数
B.求a，b，c三数的最小数
C.将a，b，c按从小到大排序
D.将a，b，c按从大到小排序
第二章 统计
统计
用样本估计总体
随机抽样
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
变量间的相关关系
用样本的频率
布估计总体分布
用样本的数字特征估计总体数字特征
知识结构
知识梳理
1. 简单随机抽样
（1）思想：设一个总体有N个个体， 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.
抽签法：
第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.
第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀.
第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
（2）步骤：
随机数表法：
第一步，将总体中的所有个体编号.
第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.
第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.
2. 系统抽样
（1）思想：将总体分成均衡的n个部分，再按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，即得到容量为n的样本.
（2）步骤：
第一步，将总体的N个个体编号.
第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.
第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号.
第四步，按照一定的规则抽取样本.
3. 分层抽样
（1）思想：若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本.
（2）步骤：
第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.
第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.
第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.
第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.
三种抽样方法的比较如下表:
用样本估计总体:一般分成两种
(1)是用样本的频率分布估计总体的分布;
(2)是用样本的数字特征(如平均数､标准差等)
估计总体的数字特征.
所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计,有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计
第二种就是为了从整体上更好地把握总体的规律,可以通过样本数据的众数､中位数､平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计
几个概念:
众数:样本数据中出现最多的数据;
中位数:把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分
比这个数小,另一部分比这个数大的那个数;
中位数是 一组数据的中间水平。
平均数:所有样本数据的平均值,用 表示;
标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其
计算公式如下:
方差:标准差的平方
注意：中位数和众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数必定在该组数据）例：2、3、4、5、6、7 中位数：中间的两个数相加后除2=（4+5）/2=4.5
4. 频率分布表
（1）含义：表示样本数据分布规律的表格.
（2）作法：
第一步，求极差.
第二步，决定组距与组数（强调取整）.
第三步，确定分点，将数据分组.
第四步，统计频数，计算频率，制成表格.
5. 频率分布直方图
（1）含义：表示样本数据分布规律的图形.
（2）作法：
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.
频率分布直方图的特征：
从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
频率分布表与频率分布直方图的区别:
频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。
频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率。
6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图.
画出频率分布折线图.
频率/组距
月均用水量/t
(取组距中点, 并连线 )
7. 总体密度曲线
当总体中的个体数很多时，随着样本容量的增加，所分的组数增多，组距减少，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.
8. 茎叶图
作法：
第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；
第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧；
第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.
例: 甲乙两人比赛得分记录如下：
甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39
乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39
用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好．
甲 乙
0
1
2
3
4
5
2, 5
5, 4
1, 6, 1, 6, 7, 9
4, 9
0
8
4, 6, 3
3, 6, 8
3, 8, 9

1
叶 茎 叶
茎叶图 (一种被用来表示数据的图)
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
茎叶图的特征：
9. 众数、中位数和平均数
众数：频率分布直方图最高矩形下端中点的横坐标.
中位数：频率分布直方图面积平分线的横坐标.
平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的总和.
10. 标准差
11. 相关关系
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
12. 散点图
在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
13. 回归直线
14.求回归直线方程的步骤:
例1.某工厂人员及周工资构成如下：
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数.
（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？
200, 220，300.
(2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.
例2.以往招生统计显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本稳定在550分，若某同学今年高考得了520分，他想报考这所大学还需收集哪些信息？
解析: (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小于中位数很多，说明最低录取线较低，可以报考.
(2)查往年录取的新生高考总分的标准差.若标准差较大，说明新生的录取分数较分散，最低录取线可能较低，可以考虑报考.
第三章 概率
概率知识点：
1、频率与概率的意义
3、古典概型
4、几何概型
2、事件的关系和运算
1、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
2、概率是一个确定的数，与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。
3、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
频率与概率的意义:
事件的关系和运算：
（2）相等关系:
（3）并事件（和事件）:
（4）交事件（积事件）:
（5）互斥事件:
（6）互为对立事件:
（1）包含关系:
互斥事件与对立事件的联系与区别：
概率的基本性质
(1) 0≤P（A）≤1
(2) 当事件A、B互斥时，
(3) 当事件A、B对立时，
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）
古典概型
1）两个特征：
2）古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型
1）几何概型的特点:
2）在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
练习：
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）
B.
C.
D.
A.
2、某种彩票中奖几率为0.1％，某人连续买1000张彩票，下列说法正确的是：（ ）
A、此人一定会中奖
B、此人一定不会中奖
C、每张彩票中奖的可能性都相等
D、最后买的几张彩票中奖的可能性
大些
3．有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
5、在相距5米的两根木杆上系一条绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率为______________
6、袋中有红、白色球各一个，每次任意取一个，有放回地抽三次，
（1）三次颜色中恰有两次同色的概率？
（2）三次颜色全相同的概率？
（3）抽取的红球多于白球的概率？
7、 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长

为1,在正方体内随机地取一点M,则四棱

锥M-ABCD的体积小于 的概率为