第2课时 进 位 制
1.掌握不同进位制之间的相互转化.
2.会用程序描述不同进位制之间的转化.
1.本节重点是不同进位制之间的相互转化.
2.本节难点是用程序描述不同进位制之间的转化.
1.进位制
（1）概念：进位制是为了_______________而约定的记数系
统，“满几进一”就是几进制.
（2）基数：几进制的基数就是___.
计数和运算方便
几
2．不同进位制之间的互化
（1）k进制化为十进制的方法
anan-1…a1a0（k）=__________________________
（an，an-1，…,a1，a0∈N,0＜an＜k，0≤an-1，…，a1，a0＜k）.
（2）十进制化为k进制的方法——___________
an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k+a0
除k取余数.
1.任何进位制中均有的基数是几？
提示：是0.
2.不同进位制下的数如何比较大小？
提示：不同进位制下的数要转化为同一进位制下的数才能比较大小.
3.七进制数中各个数位上的数字只能是_______中的一个.
【解析】“满几进一”就是几进制．∵进位制是七进制，
∴满七进一，根本不可能出现7或比7大的数字，所以各个数位上的数字只能是0,1,2,3,4,5,6中的一个．
答案：0,1,2,3,4,5,6
进位制的表示
若一个数为十进制数，则其基数可以省略不写，若是其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数.
k进制数转化为十进制数
【技法点拨】
1.k进制数化为十进制数的步骤
（1）把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式;
（2）按十进制数的运算规则运算出结果.
2.进位制有以下性质
（1）在k进制中，具有k个数字符号，它们是0，1，2，…，（k-1）;
（2）在k进制中，由低位向高位是按“满k进一”的规则进行计数的;
（3）不同进位制都是按位置原则计数的.
【典例训练】
1.将八进制数127（8）化成十进制数为________．
2.把二进制数101 101（2）化为十进制数.
【解析】1.将八进制数127（8）化为十进制数：
127（8）＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87.
答案：87
2.101 101（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=32+8+4+1=45，
所以二进制数101 101（2）转化为十进制的数为45.
【想一想】
二进制数右数第i位数字ai化为十进制数是什么数？求此类问题的易错点是什么?
提示：（1）ai×2i-1.
（2）求此类问题的易错点是式子anan-1…a1a0（k）=an×kn+
an-1kn-1+…+a1×k+a0中k的指数容易写错.
【变式训练】将下列各进制数化为十进制数.
（1）10 303（4）；（2）1 234（5）.
【解析】（1）10 303（4）=1×44+3×42+3×40=307;
（2）1 234（5）=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
十进制数转化为k进制数
【技法点拨】
1.十进制数转化为k进制数的方法（除k取余法）
用k连续去除该十进制数得到商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数.
2.十进制数转化为k进制数的步骤
【典例训练】
1.将194化为八进制数为______.
2.将十进制数458转化为四进制数.
【解析】1.

所以194化为八进制数为302（8）.
答案：302（8）
2.

458=13 022（4）.
【互动探究】把第2题中的数转化成六进制的数，结果如何？
【解析】

458=2 042（6）.
【总结】不同的进位制的区分方法及解决此类题目的易错点.
提示:（1）在不同的进位制中，要在数的右下角标明基数，以示区分（十进制数一般不标）.
（2）用“除k取余法”取余数时最后一定是商为0时的余数为正.
【规范解答】进位制的应用
【典例】（12分）比较85（9）和210（6）的大小.
【解题指导】
【规范解答】∵85（9）=5+8×9=77①，……………………4分
210（6）=0+1×6+2×62=78②，………………………………8分
而78>77，……………………………………………………10分
∴210（6）>85（9）.…………………………………………12分
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②见规范解答过程）
【规范训练】（12分）求出下列各数中最小的数
111 111（2） ，211（6） ，1 000（4） ，81.
【解题设问】本题需要把非十进制的数化成十进制的数吗？
_____.
【规范答题】把它们均化成十进制的数,分别为
111 111（2）=1+1×2+1×4+1×8+1×16+1×32=63，………3分
211（6）=79，…………………………………………………6分
1 000（4）=1×43=64，………………………………………9分
从而可知最小的数为111 111（2）.…………………………12分
需要
1.把十进制的23化成二进制数是（ ）
（A）00 110（2） （B）10 111（2）
（C）10 101（2） （D）11 101（2）
【解析】选B.
23÷2=11…1，
11÷2=5…1，
5÷2=2…1，
2÷2=1…0，
1÷2=0…1，
故23=10 111（2）.
2.把二进制数110（2）化成十进制数为（ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
【解析】选C.110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6.
3.将389化成四进制数的末位是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）0
【解析】选A.389化成四进制数的运算过程如图，所得的四进制数是12 011（4） ，其末位是1.
4.把二进制数1 001（2）化成十进制数为_____.
【解析】1 001（2）=1×23+0×22+0×21+1×20=9,
故答案为9．
答案：9
5.将53（8）转化为二进制的数.
【解析】53（8）=5×81+3=43.

∴53（8）=101 011（2）.