案例1 辗转相除法与更相减损术
学习目标

1.通过辗转相除法与更相减损术的学习,进一步体会算法思想．
2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术算法的含义;了解其计算过程;了解其算法程序框图和程序．
1. 回顾算法的三种表述：
2. 思考：
小学学过的求两个数最大公约数的方法？
复 习
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？
算出8251和6105的最大公约数.
1、辗转相除法（欧几里得算法）
所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数.若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.
例1.用辗转相除法求98与63的最大公约数.
98=1×63＋35
63=1 ×35＋28
35=1 ×28＋7
28=4 ×7＋0
所以，98与63的最大公约数为7
新 课
辗转相除法的原理：如果q和r是m除以n的商及余数, 即 m=nq+r,则gcd(m,n)=gcd(n,r).
证明: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)  则有a|m 及a|n,因此a|(m-nq), 即 a|r及a|n,所以a|b
又 b|r及b|n,所以b|(nq+r),
即b|m及b|n,所以b|a
因为a|b并且b|a,所以a=b,即gcd(m,n)=gcd(n,r).
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4
所以37是8251和6105的最大公约数
求8251和6105的最大公约数.
P45)练习1(1)用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
所以45是225和135的最大公约数
思考：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构．
m=n×q＋r
思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
程序框图
程 序
程序框图
程 序
2、更相减损术
第一步：任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数.若是,则用2约简;若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
98=63×1＋35
63=35×1＋28
35=28×1＋7
辗转相除法与更相减损术的区别
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
用更相减损术求两个整数m，n的最大公约数