第五章 曲线运动
曲 线 运 动
速度方向
--切线方向
运动性质
--变速运动
条件
--物体所受合外力与速度不在同一直线上
特例
平 抛
匀速圆周运动
研究方法
--运动的合成与分解
平行四边形定则
运动的等时性，独立性
条件：
只受重力
有水平初速度
规律：
水平方向：匀速直线运动
竖直方向：自由落体运动
飞行时间：只取决于高度
运动性质：匀变速运动
描述运动的物理量
线速度 角速度 周期
频率 转速 向心加速度
运动性质：
变速曲线运动
条件：合外力提供做匀速圆周运动所需的向心力.
合外力不足以提供向心力
----离心运动
知识结构
曲线运动
2. 运动性质:
轨迹是曲线;运动方向时刻在改变是 ；一定具有加速度， 。
3.运动的条件：运动物体所受合外力方向跟它的速度方向 。
1.速度方向：做曲线运动的物体在某点速度方向是曲线在该点的 。
变速运动
合外力不为零
切线方向
不在同一直线上
4.轨迹特点：物体曲线运动的轨迹应在合力F与速度v方向之间，并且合力F指向 。
轨迹的内侧
1、速度变化的运动必是曲线运动吗？
2、加速度变化的运动必是曲线运动吗？
3、曲线运动一定是变速运动？
4、变速运动一定是曲线运动？
5、曲线运动的速度一定变？
6、做曲线运动的物体所受合力一定不为零？
7、物体在恒力下不可能做曲线运动?
8、物体在变力作用下一定做曲线运动？
9、加速度恒定的运动不可能是曲线运动？
错
错
错
错
错
错
对
对
对
练习1
如图所示,物体在恒力的作用下沿曲线从A运动到B,此时突然使力反向,物体的运动情况是( )
A、物体可能沿曲线Ba运动
B、物体可能沿直线Bb运动
C、物体可能沿曲线Bc运动
D、物体可能沿曲线B返回A
C
练习2
运动的合成与分解
1、合运动：物体 ；
4、原则：
运动的合成是惟一的，而运动的分解不是惟一的，通常按运动所产生的实际效果分解。
分运动：物体同时参与合成的运动的运动。
平行四边形定则或三角形定则
实际的运动
3、实质：运动的合成与分解是指 的合成与分解。
a、v、x
① 等时性 : 合运动与分运动经历的时间相等
② 独立性 :一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响
③ 等效性 :各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果 ④同一性：同一物体
2、合运动与分运动的关系
判断合运动的性质
判断两个直线运动的合运动的性质
直线运动还是曲线运动？
匀变速运动还是变加速运动？
合力的方向或加速度的方向与合速度的方向是否同一直线
合力或加速度是否恒定
判断：1、两个匀速直线运动的合运动?
2、一个匀速直线运动与一个匀加速直线运动的合运动？
3、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动?
4、两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动?
讨论：
两个互成角度的直线运动的合运动有哪些类型？
1.两匀速运动合成为

2.一个匀速运动，一个匀加速直线运动合成为

3.两匀变速直线运动的合运动为
匀速直线运动
匀变速曲线运动
匀变速直线运动
或匀变速曲线运动

实例1：小船渡河
当v船 垂直于河岸;
v船最小位移
渡河时间：
河宽d＝100m，水流速度v1=3m/s，船在静水中的速度是v2＝4m/s.求
（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
（2）欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
练习3
分析:(1)垂直于河岸；t=25s；x=125m。
（2）cosθ=3/4；v=100/√7
实例2：绳＋滑轮
?
沿绳方向的伸长或收缩运动
垂直于绳方向的旋转运动
绳物模型绳端速度分解原则：
①若被拉紧的绳子两端有两个物体做不同的运动时绳子哪一端有绕轴的转动，则分解该端物体的速度
②分解原则沿着绳和垂直绳
则V与V1的关系为 ？
实例2：绳＋滑轮
?
沿绳方向的伸长或收缩运动
垂直于绳方向的旋转运动
注意：沿绳的方向上各点的速度大小相等
如图所示，湖中有一小船，岸上人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以速度v通过滑轮时，问：
(1)船运动的速度比v大还是小？
(2)保持绳子速度v不变，船是否作匀速运动？
练习4
抛体运动
1、条件：
①具有 ；
② 。
2、性质：
3、处理方法：
分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
匀变速运动
一定的初速度
只受重力
平抛运动
3、处理方法：
2、性质：
分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
匀变速曲线运动
1、条件：
①具有 ；
② 。
水平的初速度
只受重力
平抛运动
O′
x = v0 t
vx = v0
vy＝gt
决定平抛运动在空中的飞行时间与水平位移的因素分别是什么？
速度方向的反向延长线与水平位移的交点 O′有什么特点？
是一竖线.
平抛运动的加速度是恒定的,根据Δv=gΔt, Δv的方向与g方向相同,且其大小与Δt成正比,即在任意Δt内,速度的变化量Δv是大小相等的,方向竖直向下的.
有关平抛运动问题讨论
平抛物体速度的变化有何规律?
平抛运动的速端连线有什么特点?
一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1秒释放一个铁球，先后释放4个，若不计空气阻力，则4个球（ ）
A、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B、在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的
C、在空中任何时刻总在飞机的正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D、在空中任何时刻总在飞机的正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
练习5
C
炮台高出海面45m，水平射击一个以36km/h的速度沿射击方向逃离的敌舰，如果炮弹的出口速度是610m/s（不计阻力），问敌舰距我炮台多远时开炮才能命中？
练习6
由h=1/2gt2
得炮弹运动时间 t=3s
所以 Δx=x1-x2=610×3m-10×3m=1800m
做平抛运动的物体垂直落在斜面上
---可得知速度与竖直方向夹角a 。
v0
典型应用平抛与斜面：
平抛运动典型题型：
物体从斜面上平抛又落回到斜面
---可得知位移与水平方向夹角a 。
---当合速度平行于斜面时，物体离斜面最远。
一、利用速度方向的正切值求解平抛
二、利用位移方向的正切值求解平抛
如图所示，小球从倾角为37°的斜面底端的正上方以15m/s的速度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，（g取10m/s2）求：
(1)小球在空中飞行时间；

(2)抛出点距斜面底端的高度．
练习7
得：t=2s
H=1/2gt2+v0 ·t·tan370
=42.5m
解平抛运动的方法：
1、从分运动着手；
2、已知“合”的，先求“分”的；
3、已知不在同一直线上的三个量，可求出任意其它的量。
由v⊥=gt
v⊥=v0/tan370
练习8
水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
如图所示，两斜面的倾角分别为37o和53o，在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球运动时间之比为 。
练习9
9:16
球两小落地的时间之比与初速度的大小无关，
只与斜面的倾角有关。
练习10
如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。 求v0
水平方向 x=v0 t
竖直方向 h2-h1=gt2
由以上二式得：
b点的速度计算：
抛出点的坐标的计算：
如图所示，光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度vo抛出，小球滑到底端时，水平方向位移多大？
练习11
水平方向 s=v0 t
沿斜面向下 L=1/2at2
由牛顿第二定律 mgsinθ=ma
由以上三式得：
思考：处理类平抛运动与平抛运动时有何相似之处？
斜抛运动
1、条件：
①具有斜向上或斜向下的初速度；
②只受重力。
3、处理方法：
2、性质：
分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。
匀变速曲线运动
匀速圆周运动
v = rω
1、描述圆周运动快慢的物理量：
线速度v 、角速度ω 、转速n 、频率f 、周期T
2、匀速圆周运动的特点及性质
变加速曲线运动
线速度的大小不变
圆周运动
1.匀速圆周运动物理量：
不变量：
变化量：
角速度、速率、周期、频率、转速
线速度、合外力、向心加速度
(v 一定时，ω与r成反比)
①不打滑下，皮带上及与带相切的各点V大小相等。
②同一转轴上的物体上的各点ω相同
3、两个有用的结论：
匀速圆周运动
3、两个有用的结论：
①皮带上及轮子边缘上各点的线速度相同
②同一轮上各点的角速度相同
如图所示，甲轮和乙轮半径之比是2∶1，A，B两点分别为甲乙两轮的边缘上的点，C点在甲轮上，它到转轴的距离是甲轮半径的1/4，甲轮以角速度ω转动，皮带不打滑， 求A，B，C三点的:(1)线速度大小之比；(2)角速度大小之比；(3)向心加速度大小之比．
练习12
4:4:1
1:2:1
4:8:1
向心加速度和向心力
1、方向：
2、物理意义：
3、向心加速度的大小：
3、向心力的大小：
4、向心力的来源：
匀速圆周运动：合力充当向心力
始终指向圆心
描述线速度方向变化的快慢
1、方向：
始终指向圆心
沿半径方向的合力
2、作用：
只改变速度的方向，不改变速度的大小
几种常见的匀速圆周运动
几种常见的圆周运动
汽车过桥
1、水平面内的圆周运动
（1）汽车转弯
N
五、生活中圆周运动实例分析
安全速率与m无关！
解题步骤：
1.确定研究对象；
2.确定圆平面，半径；
3.对研究对象进行受力分析；
4.求向心力；
5.列方程求解
（2）火车转弯
向心力由重力G和支持力N的合力提供.
G
N
F
安全速率与m无关！
若v>vm : 外侧轨道(外轮)受力
若v例1．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是
A.轨道半径R=
B.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D.当火车质量改变时，安全速率也将改变
例2．质量为m的飞机，以速率v在水平面上做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力（升力）的大小等于__________
B
2、竖直面内的圆周运动
（1）汽车过桥
mg
N
mg
N
过拱形桥时
过凹形桥时
2、竖直面内的圆周运动
（2）水流星
在最高点时
在最低点时
∵ N≥0
曲线运动
轻绳
轻杆
圆管
重力、绳的拉力
重力、杆的拉力或支持力
重力、外管壁的支持力或内管壁的支持力
T-mg=mV2/R
如图所示，质量 m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，则：
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多大？（g取10m/s2）
练习13
解：
v=10m/s
N′=1×105N
练习14
长为0.5m的轻杆（不计质量），OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量为m＝2kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时杆对物体的作用力的大小和方向。
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为1.0r/s；
(3)若杆改成绳，将会怎样?
解：
(1)由FN+mg=m·4π2n2·r得:FN=137.75N
方向：竖直向下
(2)由FN+mg=m·4π2n2·r得：FN=19.44N
方向：竖直向下
（3）一样
飞机在竖直平面内做半径为400m的匀速圆周运动，其速率是150m／s，飞行员的质量为80kg，取g＝10m/s2，求
（1）飞机在轨道最高点飞行员头朝下时，座椅对飞行员压力的大小及方向；
（2）飞机在最低点飞行员头朝上时，飞行员对座椅的压力大小及方向。
练习15
解：
FN=3700N
FN=5300N
方向：竖直向下
方向：竖直向下
离心运动与向心运动
离心运动：0 ≤F合＜Fn
供<需
匀速圆周运动：F合= Fn
供=需
近心运动：F合＞Fn
供>需
注意：这里的F合为沿着半径（指向圆心）的合力
Fn为做匀速圆周运动所需的向心力
雨伞伞面的半径为r，离地面高为h，雨伞柄以角速度ω旋转，使雨滴自边缘甩出落于地面成一大圆圈，求此圆圈的半径．
练习16
【解析】 水滴从伞面边缘甩出去以后做平
抛运动，水滴的水平速度为v0＝ωr.
水滴在空中做平抛运动的时间为t＝
水滴做平抛运动的水平射程为x = v0t =ω·r
如图所示为俯视图，表示水滴从a点甩离伞面，落在地面上的b点；O是转动轴（圆心），可见水滴落在地面上形成的圆的半径为
R＝
r