第六章 第4节
万有引力理论的成就
卡文迪许
被称为能称出地球质量的人
地球的质量怎样称量?
一、“称量地球的质量”
当时已知：
地球的半径R
地球表面重力加速度g
卡文迪许已测出的引力常量G
卡文迪许是如何 “称量地球的质量”的呢?
重力与万有引力的关系？
G
物体在天体表面时受到的重力近似等于万有引力
?
万有引力分解为两个分力：
重力:G=mg
m随地球自转的向心力Fn:
结论：向心力远小于重力，万有引力近似等于重力
物体在天体(如地球)表面时受到的
重力近似等于万有引力
已知:
地球表面g=9.8m/s2，
地球半径R=6400km，
引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。
请你根据这些数据计算地球的质量。
M=6.0×1024kg
地球的质量到底有多大?
1、物体在天体表面时受到的重力等于万有引力
g-----天体表面的重力加速度
R-----天体的半径
二、计算天体的质量
2、行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动所需的万有引力提供向心力
二、计算天体的质量
只能求出中心天体的质量！！！
计算太阳的质量
测出某行星的公转周期T、轨道半径r,能不能由此求出太阳的质量M？
分析：
万有引力提供向心力 F引=Fn.
只能求出中心天体的质量！！！
不能求出转动天体的质量！！！
M=2.0×1030kg
思考：不同行星与太阳的距离r和绕太阳公转的周期T
都是不同的但是由不同行星的r、T计算出来的太阳质
量必须是一样的！上面这个公式能保证这一点吗？
计算中心天体(地球)的质量
已知: 地球半径：R = 6400×103m
月亮周期：T = 27.3天≈2.36×106s
月亮轨道半径:r ≈ 60R，
求：地球的质量M？
F引=Fn
M=6.0×1024kg
请观看视频“发现未知天体”，回到如下问题：
问题1：笔尖下发现的行星是哪一颗行星？

问题2：人们用类似的方法又发现了哪颗星？
三、发现未知天体
两条基本思路
2、万有引力提供向心力
1、重力等于万有引力
小结：计算天体的质量
【典例1】在某行星上，宇航员用弹簧测力计称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量.
【解题指导】解答该题应把握以下两点：
【标准解答】设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g,由万有引力定律得
①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
②
解①②式得：
【规律方法】 天体质量的求解方法
应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：
一种是知道这个天体的表面的重力加速度和半径，根据公式
求解；另一种方法是若知道某个天体的一颗行星(或
卫星)运动的周期T和轨道半径r,利用公式 求解.
【变式训练】(2011·嘉兴高一检测)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”.假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A.火星的质量
B.“萤火一号”的质量
C.火星对“萤火一号”的引力
D.火星表面的重力加速度
【解析】选A、D.设火星、“萤火一号”的质量分别为M、m,
火星的半径为R,则

联立以上两式可以求得火星的质量，A对；“萤火一号”的质
量m被约去，故不能将它求出，B、C错；火星表面的重力加速
度表达式为 ,从以上两式解出M、R代入该表达式就可
以求出火星表面的重力加速度，D对.
【典例2】海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例.但是,在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用发现海王星的方法经过多年的努力，美国的洛维尔天文台才在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星.冥王星绕太阳运行的半径是40个天文单位(地球和太阳之间的距离为一个天文单位).求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比.
【解题指导】解答本题可按以下思路进行解答：

【标准解答】设太阳的质量为M，行星运行的线速度为v，行星的质量为m，行星到太阳的距离为R.
根据F引=F向得 有 ，对于这两个星体GM是一样的.
【互动探究】求冥王星绕太阳转动一圈大约多少年？
【解析】由 得冥王星的公转周期

答案：253年
月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球质量M与月球质量m之比M/m=81，地球半径R0与月球半径R之比R0/R=3.6，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比r/R0=60.求月球表面的重力加速度g与地球表面的重力加速度g0的比值.
对物理概念理解不清导致错误
【正确解答】由 得地球及月球表面的重力加速度
分别为 所以
【正确答案】0.16
【易错分析】本题常见错误解法及分析如下：
1.一名宇航员来到某一星球上，如果该星球的质量为地球的
一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球
上的重力是他在地球上的重力的( )
A.4倍 B.0.5倍 C.0.25倍 D.2倍
D
M/2
(R/2)2
2.可以发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足的条件是( )
A.与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面的同心圆
B.与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的
D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的
CD
3.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2,则( )
A. B. C. D.
4.宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，这双星系统中两颗恒星的质量关系是( )
A.这两颗恒星的质量必定相等
B.这两颗恒星的质量之和为
C.这两颗恒星的质量之比为m1∶m2=R2∶R1
D.必有一颗恒星的质量为
BCD
【解析】选B、C、D.对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定
律得 ，所以两星的质量之比
m1∶m2=R2∶R1，C正确；由上式可得 ，
，D正确，A错误； ，
B正确.故正确答案为B、C、D.
5.地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m，公转的周期是3.16×107 s，太阳的质量是多少？
【解析】根据牛顿第二定律得：
①
又因为F向是由万有引力提供的,所以
②
由①②式联立可得:
=1.96×1030 kg.