生活中的圆周运动
一、铁路的弯道
1.火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时实际上在做_____
_____，因而具有_____加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心
力。
圆周
运动
向心
2.向心力的来源：
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的_____提供向心力，这
样，铁轨和车轮极易受损。
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几
乎完全由______和________的合力提供。
弹力
重力G
支持力FN
【想一想】除了火车弯道具有内低外高的特点外，
你还了解哪些道路具有这样的特点？
提示：有些道路具有外高内低的特点是为了利用弯
道的支持力与车辆重力的合力提供向心力，进而提
高车辆的转弯速度，因此一些赛车项目的赛道的弯
道要做得外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，高速公路的拐弯处等。
二、拱形桥
mg-FN
FN-mg
越小
越大
【判一判】
(1)汽车驶过凸形桥高点，速度很大时，对桥的压力可能等于零。
( )
(2)汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。( )
(3)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力。( )
提示：(1)√。汽车驶过凸形桥高点时，若所需的向心力等于汽车的重力，则汽车只受重力作用，此时对桥的压力等于零。
(2)×。汽车过凸形桥时，向心加速度的方向向下；过凹形桥时，向心加速度的方向向上。
(3)√。汽车驶过凹形桥低点时，汽车所受支持力与重力的合力充当向心力，因为向心力方向向上，所以支持力大于重力，又根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力大于重力。
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为
他提供向心力，_____= ，所以FN=________。
2.失重状态：当v=_____时，座舱对宇航员的支持力FN=0，宇航员处
于_________状态。
mg-FN
完全失重
【判一判】(1)航天器中宇航员的运动可看作匀速圆周运动，宇航员处于平衡状态。( )
(2)宇航员做圆周运动时，受到的地球引力为他提供向心力。( )
(3)航天器中宇航员处于完全失重状态，所受合力为零。(　　)
提示：(1)×。航天器中宇航员的运动可看作匀速圆周运动，但做匀速圆周运动的物体不处于平衡状态。
(2)√。宇航员做圆周运动时，座舱对宇航员的支持力为零，受到的地球引力为他提供向心力。
(3)×。航天器中宇航员处于完全失重状态，但受地球引力，合力不为零。
四、离心运动
1.定义：物体沿切线飞出或做_________圆心的运动。
2.原因：向心力突然_____或合外力不足以提供_____________。
3.应用：洗衣机的_______，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线
杆等。
逐渐远离
消失
所需的向心力
脱水筒
【想一想】雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴
沿着伞的边缘切线飞出，你能说出其中的原因吗？
提示：旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的
雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴
由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
一、火车转弯问题
思考探究：
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考：
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？
(2)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：(1)火车转弯处，外轨高于内轨。
(2)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力。
【归纳总结】
1.明确圆周平面：火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的。因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内。故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2.受力特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，其竖直分力可以与重力平衡，其水平分力可以提供向心力，或者说火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力。
3.速度与轨道压力的关系：
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则
mgtanθ= ，如图所示，则v0= ，其中R为弯道半径，θ
为轨道平面与水平面的夹角(tanθ≈ )，v0为转弯处的规定速度。
此时，内外轨道对火车均无挤压作用。
(2)若火车行驶速度v0> ，外轨对轮缘有侧压力。
(3)若火车行驶速度v0< ，内轨对轮缘有侧压力。
【典例示范】(多选)(2015·连云港高一检测)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的是( )
A.v一定时，r越小则要求h越大
B.v一定时，r越大则要求h越大
C.r一定时，v越小则要求h越大
D.r一定时，v越大则要求h越大
【解题探究】
(1)火车以规定的速率在弯道上行驶时，火车受几个力，由什么力来提供向心力？
提示：火车受轨道的支持力和重力两个力的作用，两个力的合力充当向心力。
(2)轨道平面与水平方向的夹角θ与内外轨的高度差h间有什么关系？
提示：若内外轨道的宽为L，则tanθ≈sinθ= ，tanθ越大，内外轨道的高度差h越大。
【正确解答】选A、D。设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtanθ=m ，得tanθ= ；又因为tanθ≈sinθ= ，所以
可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，
v越大，h越大，故C错误，D正确。
【误区警示】火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
【过关训练】
1.(2015·岳阳高一检测)在高速公路的拐弯处，路面建造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应满足( )
【解析】选B。当车轮与路面的横向摩擦力等于零时，汽车受力如图所示，
则有：FNsinθ=m ，
FNcosθ=mg，
解得：tanθ= ，故B正确。
2.(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处( )
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
【解析】选A、C。当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内
外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提
供向心力，所以路面外侧高内侧低，选项A正确；当车速低于v0时，
需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，
但并不会向内侧滑动，静摩擦力向外侧，选项B错误；当车速高于v0
时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋
势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到
最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C正确；由mgtanθ=m 可知，v0的值只与斜面倾角和圆弧轨道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，选项D错误。
3.(2015·德州高一检测)火车以半径r=900m转弯，火车质量为8× 105kg，轨道宽为l=1.4m，外轨比内轨高h=14cm，为了使铁轨不受轮缘的挤压，火车的速度应为多大？(g取10m/s2)
【解析】若火车在转弯时不受挤压，即由重力和支持力的合力提供向心力，火车转弯平面是水平面。火车受力如图所示，
由牛顿第二定律得
F=mgtanα=m　 ①
由于α很小，可以近似认为tanα=sinα=　 ②
解①②式得v=30m/s
答案：30m/s
【补偿训练】在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A.是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C.是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D.是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
【解析】选C。赛车在水平弯道上行驶时，摩擦力提供向心力，而且速度越大，需要的向心力越大，如不及时减速，当摩擦力不足以提供向心力时，赛车就会冲出跑道，故C正确。
二、竖直平面内的圆周运动
思考探究：
小球分别在轻绳(如图甲)和轻杆(如图乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：
(1)小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？
(2)小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？
提示：(1)在轻绳作用下运动时小球经过最高点的速度不能为零，在轻杆作用下运动时可以为零，因为若在轻绳作用下到达最高点时速度为零，小球将在重力作用下下落，不可能做圆周运动。
(2)小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零，此时，由重力提供小球做圆周运动的向心力。
【归纳总结】
1.运动性质：物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动。
2.最低点：小球运动到最低点时受杆或轨道向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力充当向心力，FN-mg= 。
3.最高点：物体在最高点时的受力特点可分为以下两种：
【典例示范】长度为0.5m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m=2kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0r/s。
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5r/s。
【解题探究】
(1)在最高点，球的向心力由谁提供？
提示：在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力充当向心力。
(2)杆对球施加的力一定是拉力吗？
提示：杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定。
【正确解答】小球在最高点的受力如图所示：
(1)杆的转速为2.0r/s时，ω=2π·n=4πrad/s
由牛顿第二定律得：F+mg=mLω2
故小球所受杆的作用力
F=mLω2-mg=2×(0.5×42×π2-10)N≈138N
即杆对小球提供了138N的拉力
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138N，方向竖直向上。
(2)杆的转速为0.5r/s时，ω′=2π·n′=πrad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F=mLω′2-mg=2×(0.5×π2-10)N≈-10N。
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10N，方向竖直向下。
答案：见正确解答
【过关训练】
1.(拓展延伸)若【典例示范】中其他条件不变，将轻杆换成轻绳，
(1)当转速为2.0r/s时，小球能否在竖直面内做圆周运动？若能，求此时绳子的拉力。
(2)当转速为0.5r/s时，小球能否在竖直面内做圆周运动？若能，求此时绳子的拉力。
【解析】若小球恰好过最高点，则绳子拉力为零，由重力充当向心
力。所以mg= ，可得v=2.24m/s，又根据v=2πrn，可得
n=0.71r/s。
所以当转速为2.0r/s时，小球能在竖直面内做圆周运动；当转速为
0.5r/s时，小球不能在竖直面内做圆周运动。
当转速为2.0r/s时，v=2πrn=6.28m/s
此时由重力和绳子拉力的合力充当向心力mg+F= ，可得：F=138N，所以此时绳子对小球的拉力为138N，方向向下。
答案：见解析
2.(2015·泉州高一检测)如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
【解析】选C。小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提
供向心力，即mg=mω2R，解得ω= ，选项C正确。
3.(多选)(2015·九江高一检测)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法错误的是( )
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是零
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【解析】选C、D。小球过最高点时，若v= ，杆所受弹力等于
零，选项A正确。此题属于轻杆模型，小球过最高点的最小速度是
零，选项B正确。小球过最高点时，若v< ，杆对球有向上的支持
力，且该力随速度的增大而减小；若v> ，杆对球有向下的拉
力，且该力随速度的增大而增大，选项C、D错误。
【补偿训练】某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(　　)
【解析】选C。由题意知F+mg=2mg= 故速度大小v=
C正确。
【规律方法】竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。
(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。
三、对离心运动的理解
思考探究：
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
(1)链球飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？
(2)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)链球飞出、汽车滑出的原因是物体惯性的表现，不是因为受到了什么离心力，离心力是不存在的。
(2)物体做离心运动的条件是：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
【归纳总结】
1.离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力。
2.离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
3.离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运
动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向
心力Fn与所需向心力( 或mrω2)的大小关
系决定。
(1)若Fn=mrω2(或 )，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
(2)若Fn>mrω2(或 )，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若Fn(4)若Fn=0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出。
【典例示范】(2015·潍坊高一检测)如图所示，小球从“离心轨道”上滑下，若小球经过A点时开始脱离圆环，则小球将做( )
A.自由落体运动
B.平抛运动
C.斜上抛运动
D.竖直上抛运动
【解题探究】
(1)小球脱离轨道时的速度方向如何？
提示：小球脱离轨道时的速度方向斜向上。
(2)脱离轨道后，小球受力情况如何？
提示：脱离轨道后，小球只受重力作用。
【正确解答】选C。小球在脱离轨道时的速度是沿着轨道的切线方向的，即斜向上。当脱离轨道后小球只受重力，所以小球将做斜上抛运动。
【过关训练】
1.(多选)(2015·长春高一检测)为了防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以( )
A.增大汽车转弯时的速度
B.减小汽车转弯时的速度
C.增大汽车与路面间的摩擦
D.减小汽车与路面间的摩擦
【解析】选B、C。汽车在水平路面上转弯时，其向心力由静摩擦力提
供，即μmg= ，如要防止“打滑”现象，应采取的措施是：增大
汽车与路面间的摩擦或减小汽车转弯时的速度。
2.(2015·常州高一检测)某同学在进行课外实验时，做了一个“人工漩涡”的实验，取一个装满水的大盆，用手掌在水中快速转动，就在水盆中形成了“漩涡”，随着手掌转动越来越快，形成的漩涡也越来越大，则关于漩涡形成的原因，下列说法中正确的是( )
A.由于水受到向心力的作用
B.由于水受到合外力的作用
C.由于水受到离心力的作用
D.由于水做离心运动
【解析】选D。水在手的拨动下做圆周运动，当水转动越来越快时，需要的向心力也越来越大，当其所需向心力大于所受合外力时，即做离心运动，故选项D正确。
3.下列说法中正确的是( )
A.物体做离心运动时，将离圆心越来越远
B.物体做离心运动时，其运动轨迹是半径逐渐增大的圆
C.做离心运动的物体，一定不受到外力的作用
D.做匀速圆周运动的物体，因受合力大小改变而不做圆周运动时，将做离心运动
【解析】选A。离心运动指离圆心越来越远的运动，A对。物体做离心运动时，运动轨迹可能是直线，也可能是曲线，但不是圆，B错。当物体的合外力突然为零或小于向心力时，物体做离心运动；当合外力大于向心力时，物体做近心运动，C、D错。
【补偿训练】物体做离心运动时，运动轨迹的形状为(　　)
A.一定是直线 B.一定是曲线
C.可能是直线也可能是曲线 D.可能是一个圆
【解析】选C。离心运动是指合力突然变为零或合力不足以提供向心力时物体逐渐远离圆心的运动。若合力突然变为零，物体沿切线方向做直线运动；若合力比向心力小，物体做曲线运动，但逐渐远离圆心，故A、B、D错，C对。
【误区警示】离心现象的三点注意
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
【拓展例题】考查内容：圆周运动的应用
【典例示范】飞机起飞时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫
血、四肢沉重。过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至晕厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力。如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力。离心实验器转动时，被测试者做匀速圆周运动，若被测试者所受重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角。求：
(1)被测试者做匀速圆周运动时所需向心力多大？
(2)被测试者对座位的压力多大？
【正确解答】被测试者做匀速圆周运动所需的
向心力由他受的重力和座位对他的支持力的合
力提供，对其受力分析如图所示。
(1)做匀速圆周运动需要的向心力为F向=Gcot30°= G。
(2)座位对被测试者的支持力为F= =2G
由牛顿第三定律可知被测试者对座位的压力大小也为2G。
答案：(1) G　(2)2G
竖直面内圆周运动的压力计算问题
【典例示范】如图所示是马戏团中上演的飞车节目，
在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托
车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量
为m，人以v1= 的速度过轨道最高点B，并以v2=
v1的速度过最低点A。求在A、B两点摩托车对轨道的压力大
小相差多少？
【现场答案】
【找错·纠错】分析上述解析过程，你知道错在哪里吗？
错因：(1)关系式书写不规范，等号左侧应为车所受合力，等号右侧应为车所需的向心力。
(2)将轨道对车的压力与车对轨道的压力混淆，FA、FB是轨道对车的压力，不是车对轨道的压力。
正解：在B点，FB+mg=
解之得FB=mg，根据牛顿第三定律，摩托车对轨道的压力大小F′B=FB=mg
在A点，FA-mg=
解之得FA=7mg，根据牛顿第三定律，摩托车对轨道的压力大小F′A=FA=7mg
所以在A、B两点车对轨道的压力大小相差F′A-F′B=6mg。
答案：6mg