3.1.2 用二分法求方程的近似解
（1）通过用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函
数的零点与方程根之间的联系,初步形成应用函数
观点处理问题的意识；(重点）
（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.
（难点）
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
B
假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法求得方程f(x)=0的一个解?
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.
二分法的定义：
定义：
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.
【思考】(1)所有的函数都有零点吗？
(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？
例1. 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的正数零点(精确度为0.1).
【解题指南】本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤.求正数零点，关键是确定一个包含此零点的区间.
【解析】确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间.因为f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在x0∈(1, 2)，使f(x0)=0.
用二分法逐步计算，列表如下：
由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1.
∴函数的正零点的近似值为1.687 5.
2.求区间（a,b）的中点c；
（1）若 ，则c就是函数的零点；
（2）若 ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
（3）若 ,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).
即若 ，则得到零点近似值a(或b）；
否则重复步骤2～4．
例2. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度为0.01）.
解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解
在区间（2，3）内
y=－2x+6
y=lnx
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3）
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0
2.562 5
f(2.562 5)>0
（2.531 25，2.562 5）
f(2.5)<0
f(2.562 5)>0
（2.5，2.562 5）
f(2.531 25)<0
f(2.562 5)>0
f(2.531 25)<0
2.539 062 5
2.546 875
（2.531 25，2.546 875）
2.531 25
f(2.539 062 5)>0
f(2.531 25)<0
f(2.546 875)>0
（2.531 25，2.539 062 5）
f(2.546 875)>0
f(2.531 25)<0,
f(2.539 062 5)>0
列出下表：
由于
所以，可以将
作为函数
零点的近似值，也即方程
的近似根.
注意精确度
2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看.
同号丢，异号算，零点落在异号间.
重复做，何时止，精确度来把关口.
对二分法概念的理解
【技法点拨】
运用二分法求函数零点需具备的二个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左右函数值异号.
【典例训练】
1.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
2.下面关于二分法的叙述，正确的是( )
(A)用二分法可求所有函数零点的近似值
(B)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
(C)二分法无规律可循
(D)只有在求函数零点时才用二分法
用二分法求函数的零点
【技法点拨】
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间［m,n］(一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是［m,c］还是［c,n］，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【典例训练】
1.函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间［1,2］的一个零点是_____(精确度为0.1).
2.求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度为0.01).
用二分法求方程的近似解
【技法点拨】
用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)=0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.
【典例训练】
1.利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
那么方程2x=x2的一个根所在区间为( )
(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)
(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)
2.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).
1.二分法求函数的零点的近似值适合于( )
(A)零点两侧函数值符号相反
(B)零点两侧函数值符号相同
(C)都适合
(D)都不适合
A
2.下列函数不能用二分法求零点的是( )
(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=log2x+2x-9
(C)f(x)=(2x-3)2 (D)f(x)=3x-3
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
(A)0.64 (B)0.74 (C)0.7 (D)0.6
C
C
4.用二分法求函数y=f(x)在区间［2，4］上的近似零点(精确
度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间［2,4］的中点
x1= =3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间
是_______.
(2,3)
5.(2012·抚州高一检测)某同学在借助计算器求“方程
lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2,
算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分法”又取
了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程
的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4个值中最后一个值是
________.
1.812 5
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤；
3.逐步逼近思想；
4.数形结合思想；
5.近似与精确的相对统一.
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。