22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
1.会画y=ax2+bx+c的图象；
2.理解y=ax2+bx+c的性质；
3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联系与区别.
自学指导
认真看书P37--39页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快?

1、配方法解一元二次方程的方法是什么?
2、你会用配方法把y=ax2+bx+c配成顶点式吗?
3、抛物线y=ax2+bx+C(a 0)的性质是什么?
说出二次函数 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为完全平方式,后两项合并同类项
化简
配方化成顶点式
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).
再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标.
● (1，2)
通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同学们，你想到了什么？
0
画出y＝ x2－6x＋21的图象.
配方得：
y= x2－6x＋21
由此可知，抛物线 的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6.
y＝ x2－6x＋21
【例题】
x ＝6
怎样平移抛物线
y＝ x2得到抛物线
y＝ (x－6)2＋3？
当_____时y随x的增大而增大
当_____时y随x的增大而减小
x>6
x<6
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
抛物线的顶点式
二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
【跟踪训练】
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质.
想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小.在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.（梧州·中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A．ac<0
B．a-b+c>0
C．b=-4a
D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
B
2．（昭通·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
y
x
O
D
3．（攀枝花·中考）如图，二次函数ｙ＝ａx2－ｂｘ
＋２的大致图象如图所示，则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图象
不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2
O
x
y
A
5.（重庆·中考）已知抛物线y=ax2+bx+c.在平面
直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确
的是（ ）

A． B．

C． D．
【解析】选D. ∵抛物线开口向下∴a＜0.∵对称轴在y轴的
右边，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴D项正确.
6．（东莞·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）.
⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式.
⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的
取值范围.
x
y
3
－1
O
解析：⑴根据题意 得：
解得
所以抛物线的解析式为
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称轴.
作 业
1、必做 P41 6题
2、选作 P42 12题