位似图形
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）．
活动1 观察
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
O
O
O
这个点叫做位似中心．
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
相似
对应顶点的连线相交一点
对应边互相平行
(或在同一直线上)
明确
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边平行，像这样的两个图形叫位似图形.
位似的概念与特征
特征：
1、位似图形一定是相似形，反之不一定。
2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形，
　其次每一对对应点所在直线都经过同一点。
这个点叫做位似中心，
这时的相似比又叫位似比。
1. 判断下列各对图形是不是位似图形.
（1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′；
（2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′.
思考：是否相似图形都是位似图形？
是
是
不一定
判断下面的正方形是不是位似图形？
（1）
不是
A
C
D
B
F
E
G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
如果∆OAB和 ∆OCD是位似图形，那么AB∥CD吗？为什么？
解:AB∥CD.理由是：
∆OAB和 ∆OCD是位似图形，
∆OAB∽ ∆OCD
∠OAB＝∠C
AB∥CD.
注意:对应边OB与OD在同一直线 上.
2. 位似图形的性质
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2，则OA：OA’=（ ）。
O
A
A’
B
C
B’
C’
1:2
作出下列位似图形的位似中心：
位似的作法
O
点O即为所求
作出下列位似图形的位似中心
位似的作法
O
点O即为所求
2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
例如，要把四边形ABCD缩小到原来的1/2，
1. 在四边形外任选一点O（如图），
A’B’C’D’即为所求
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A‘ ，B’ 、C‘ 、D’ ，
使得 呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
探究
A’B’C’D’即为所求
2. 如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
O
A
B
C
①作射线OA 、OB 、 OC
②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得
③顺次连结A' 、B' 、C' 就是所要求图形
A'
B'
C'
△ A’B’C’即为所求
我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示。
A
A′
B′
B
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1), B′(2,0)
A〞(-2,-1),
B〞(-2,0)
探
究
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
A′
B′
C′
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2画它的位似图形.
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′(4 ,6 ),
B′(4 ,2 ),
C′(12,4 )
还有其他办法吗?
C
B
A
探
究
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
归
纳
在平面直角坐标系中，
如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k
例如：点A(x,y)的对应点为A’，则A’点的坐标可以这样确定
归纳：
xA’=xA×k , yA'=yA×k
xA’=xA×(-k) ，yA'=yA×(-k)
或
即A’（kx,ky）
即A’（-kx,-ky）
A′
D′
C′
B′
D
C
B
A
例. 在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6), B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
利用位似变换中对应点的坐标的变化规律,分别取点A′(-3,3), B′(-4,1), C′(-2,0), D′(-1,2)依次连接A′B′C′ D′,
你还有其他办法吗?试试看.
四边形A′B′C′ D′就是要求的四边形ABCD的位似图形
A
C
B
D
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比。
回味无穷
位似图形的概念：
如果两个图形不仅形状相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
位似图形的性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
1.画出基本图形
2.选取位似中心
3.根据条件确定对应点，并描出对应点
4.顺次连结各对应点，所成的图形就是
所求的图形
一、定义及性质：
在平面直角坐标系中，如果位似变换
是以原点为位似中心，相似比为k，
那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k
课 堂 小 结
二、位似图形的画法：
三、位似变换与坐标的关系：
再见
27.3 位似（2）
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.
1.什么叫位似图形?
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
4.利用位似可以把一个图形放大或缩小
复习回顾
3.位似图形与中心对称图形有何关系？
D
E
F
A
O
B
C
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
D
E
F
A
O
B
C
对应点连线都交于____________
对应线段__________________________
位似中心
平行或在一条直线上
复习回顾
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,位似比为3:1,把线段AB缩小.
A′(2,1), B′(2,0)
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
探索1:
B〞
B'
A'
x
y
B
A
o
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为3:1,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0)
A〞
A〞(-2,-1),B(-2,0)
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
A
B
C
A′
B′
C′
4
8
12
2
4
6
2、如图，△ABC三个顶点坐标分别位A（2,3），B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，
将△ABC放大，
0
x
y
o
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),
C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似 图形.
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
A′
B′
C′
D′
你还有其他办法吗?试试看.
x
y
o
A1(3,-3 ), B1( 4,-1 ), C1( 2,0 ), D1( 1,-2 )
D1
A1
B1
C1
x
y
o
B
1.如图表示△ABC把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比
A
C
D
练一练:
x
y
o
2.如图△ABC的三个顶点坐标分别为
A(2,-2),B(4,-5),C(5,-2),以原点O为位似中心,将这个三角形放大为原来的2倍.
B
A
C
练一练:
至此,我们己经学习了四种变换;平移轴、对称、旋转和位似,你能说出它们之间的异同吗?在图所示的图案中,你能找到这些变换吗?