2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
向量的夹角
复习回顾
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算

W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？
两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
定
义
|a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。
平面向量的数量积的定义
说明：
思考：
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正；
当90°＜θ ≤180°时a·b为负。
当θ =90°时a·b为零。
重要性质:
特别地
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °
= 2
练习:
a·b的几何意义：
练一练：
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0．
5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立．
√
×
×
×
×
×
√
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
注：
则
(a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
O
N
M
a+b
b
a
c
向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,
证明运算律(3)
例 3：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
＝a2＋2a·b＋b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.
解:
利用平面向量数量积求解长度问题
利用平面向量数量积求解夹角问题
小　结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 常用︱a︱＝ 求向量的模.
　　　
　常用　　　　　　求向量的夹角.
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义