3　匀变速直线运动的 位移与时间的关系
一、匀速直线运动的位移
1.位移公式： .
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图象是 ，如图2—3—1所示，物体的位移对应着图象中 ．
x＝vt
一条与时间轴平行的直线
阴影部分的面积
二、匀变速直线运动的位移

1．位移公式： ，若v0＝0，则 .
2．在v－t图象中，位移对应 ．如图所示．任何直线运动(包括非匀变速直线运动)的位移都可以在其v－t图象中用图线与时间轴所围成的面积表示．
图线与时间轴所围的
面积
一、由速度图象求匀速直线运动的位移
匀速直线运动的速度不随时间变化，所以其速度图象是平行于时间轴的直线．由匀速直线运动的位移公式x＝vt结合速度图象可知，匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积(如图2—3—3中矩形为OABC的面积)来表示．
二、由速度图象求匀变速直线运动的位移
图2—3—4中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线．为了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔．设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性也突然变化．因此，它的速度图线由图2—3—4中的一些平行于时间轴的间断线段组成．由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图2—3—4中的一个个小矩形面积之和(即阶梯状折线与时间轴之间的面积)来表示．
如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积．当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB与时间轴之间的面积．这样，我们就得出结论：匀变速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示．
运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直线运动也是适用的．
三、对匀变速直线运动位移公式的理解
1．位移公式x＝v0t＋ at2反映了位移随时间变化的规律．
2．公式中v0、a、x都是矢量，利用公式时应先规定正方向，一般以v0方向为正方向．其他各量若与v0同向，则取正值，若与v0反向，则取负值．对计算结果中的正负号，需要根据正方向的规定说明其物理意义．
题型一　位移公式的应用
【例1】　一辆汽车刹车前速度为90 km/h，刹车获得的加速度大小为10 m/s2，求：
(1)汽车刹车开始后10 s内滑行的距离x0；
(2)从开始刹车到汽车位移为30 m时所经历的时间t；
(3)汽车静止前1 s内滑动的距离x′.
【答案】　(1) 31.25 m　(2)2 s　(3)5 m
规律总结：汽车刹车是单向运动，其速度减小到零就停止运动，分析运动过程要分清楚各阶段的运动性质，即汽车在减速，还是已经停止．将汽车减速到零的运动可以看成是初速度为零的匀加速运动，可以使问题的解答更简捷．
应用1—1　一物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝5 m/s，加速度为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移；(2)物体在第3 s内的位移．
解析：计算物体运动的位移，应该认清是哪一段时间内的位移，第一小题所求位移的时间间隔是3 s，第二小题所求位移的时间间隔是1 s，即2 s末到3 s末的位移；因为物体做匀加速直线运动，可以运用匀加速直线运动的公式来计算．
答案：(1)17.25 m　(2)6.25 m
应用1—2　汽车以10 m/s的速度行驶，刹车后获得大小为2 m/s2加速度，则刹车4 s通过的路程是多少？刹车后8 s通过的路程是多少？
答案：24 m　25 m
题型二　利用v—t图象求位移
【例2】　(2010·广州学业水平测试)若一质点从t＝0时刻开始由原点出发沿直线运动，其速度—时间图象如图2—3—5所示，则该质点 (　　)
A．t＝1 s时离原点最远
B．t＝2 s时离原点最远
C．t＝3 s时回到原点
D．t＝4 s时回到原点
【解析】　做直线运动的速度—时间图线与时间轴所围成的图形的面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形的面积应最大．t＝1 s，所围成的图形为△OAB，t＝2 s时，为△OAC.很显然S△OAC>S△OAB，所以t＝2 s时位移最大，离原点最远，当t＝3 s时，所围图形为△OAC和△CDE，由于△CDE在t轴以下，位移为负，则S合应为S△OAC－S△CDE≠0，t＝4 s时，S合＝S△OAC－S△CDF＝0，即位移为零，质点回到出发点，故选B、D.
【答案】　BD
规律总结：离出发点的远近涉及位移，在v—t图象中位移可利用图线与时间轴所围成的面积表示．但应注意，所围图形在时间轴以上时表示位移为正方向上的位移，当所围图形在时间轴以下时表示位移为负方向上的位移．
应用2—1　某一做直线运动的物体的图象如图2—3—6所示，根据图象求：
(1)物体距出发点的最远距离．
(2)前4 s物体的位移．
(3)前4 s内通过的路程．
答案：(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
题型三　追及和相遇问题
【例3】　在平直公路上，一自行车与同方向行驶的汽车同时经过某点，它们的位移随时间变化关系是，自行车：x1＝6t，汽车：x2＝10t－ t2，可知
(1)经____________时间，自行车追上汽车；
(2)自行车追上汽车时，汽车速度为______________；
(3)自行车追上汽车前，二者间最大距离为________．
【解析】　此题是自行车与汽车间的追及问题．解决此类问题的关键是找出两个物体运动中物理量之间的关系．由题意可知，自行车以6 m/s的速度做匀速直线运动，汽车以10 m/s的初速度、0.5 m/s2的加速度做匀减速运动．起初，汽车速度大于自行车的速度，两者间的距离不断增加，当汽车与自行车速度相等时，两者间的距离最大，即6＝10－0.5t，得t＝8 s，此时两者间距离Δx＝x汽－x自＝(10×8－ ×82)m－6×8 m＝16 m.
【答案】　(1)16 s　(2)2 m/s　(3)16 m
规律总结：这是一道典型的运动学中的“追及问题”，解决此类问题的关键是找出两个物体运动中物理量之间的关系，以下两点尤为重要：
(1)一物体“追上”另一物体，二者相对于同一参考点具有相同的位移大小，即x1＝x2.
(2)两物体在追及过程中的“最大距离”出现在“速度相等”时，由此求得运动所经历的时间，最大位移由Δx＝x1′－x2′求得．
应用3—1　平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：
(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？
(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？
解析：画出示意图，如图2—3—7所示，甲追上乙时，x甲＝x0＋x乙，且t甲＝t乙(追及条件)，根据变速直线运动、匀速直线运动的位移公式列出方程，即能解得正确的结果．